ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравните числа $a$ и $b$:

а) $a = 1 + \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{11}$

б) $a = \sqrt{7} — \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{5} — \sqrt{21}$

в) $a = \sqrt{29}$ и $b = 1 + \sqrt{19}$

г) $a = \sqrt{17} — \sqrt{59}$ и $b = \sqrt{15} — \sqrt{61}$

Сравнить числа $a$ и $b$:

а) $a = 1 + \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{11}$

Допустим, что верно неравенство:

$$a > b;$$ $$1 + \sqrt{5} > \sqrt{11};$$ $$(1 + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{11})^2;$$ $$1 + 2\sqrt{5} + 5 > 11;$$ $$2\sqrt{5} > 5;$$ $$(2\sqrt{5})^2 > 5^2;$$ $$4 \cdot 5 > 25;$$ $$20 > 25 \quad \text{— неверно;}$$

Ответ: $a < b$.

б) $a = \sqrt{7} — \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{5} — \sqrt{21}$

Допустим, что верно неравенство:

$$a > b;$$ $$\sqrt{7} — \sqrt{19} > \sqrt{5} — \sqrt{21};$$ $$\sqrt{7} + \sqrt{21} > \sqrt{5} + \sqrt{19};$$

Верно, так как: $\sqrt{7} > \sqrt{5}$ и $\sqrt{21} > \sqrt{19}$;

Ответ: $a > b$.

в) $a = \sqrt{29}$ и $b = 1 + \sqrt{19}$

Допустим, что верно неравенство:

$$a > b;$$ $$\sqrt{29} > 1 + \sqrt{19};$$ $$(\sqrt{29})^2 > (1 + \sqrt{19})^2;$$ $$29 > 1 + 2\sqrt{19} + 19;$$ $$9 > 2\sqrt{19};$$ $$9^2 > (2\sqrt{19})^2;$$ $$81 > 4 \cdot 19;$$ $$81 > 76 \quad \text{— верно;}$$

Ответ: $a > b$.

г) $a = \sqrt{17} — \sqrt{59}$ и $b = \sqrt{15} — \sqrt{61}$

Допустим, что верно неравенство:

$$a > b;$$ $$\sqrt{17} — \sqrt{59} > \sqrt{15} — \sqrt{61};$$ $$\sqrt{17} + \sqrt{61} > \sqrt{15} + \sqrt{59};$$

Верно, так как: $\sqrt{17} > \sqrt{15}$ и $\sqrt{61} > \sqrt{59}$;

Ответ: $a > b$.

Сравнить числа $a$ и $b$:

а) $a = 1 + \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{11}$

Шаг 1: Исходное неравенство

Предположим, что $a > b$. Это означает, что:

$$1 + \sqrt{5} > \sqrt{11}.$$

Шаг 2: Возведение обеих сторон в квадрат

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе стороны неравенства в квадрат:

$$(1 + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{11})^2.$$

Шаг 3: Раскрытие квадратов

Теперь раскрываем квадратные выражения:

$$(1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5},$$ $$(\sqrt{11})^2 = 11.$$

Итак, неравенство преобразуется в:

$$6 + 2\sqrt{5} > 11.$$

Шаг 4: Упрощение неравенства

Теперь уменьшаем обе стороны на 6:

$$2\sqrt{5} > 5.$$

Шаг 5: Возведение обеих сторон в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат:

$$(2\sqrt{5})^2 > 5^2,$$ $$4 \cdot 5 > 25,$$ $$20 > 25 \quad \text{— неверно}.$$

Шаг 6: Заключение

Поскольку полученное неравенство $20 > 25$ неверно, значит наше первоначальное предположение, что $a > b$, было ошибочным.

Ответ:

$$a < b.$$

б) $a = \sqrt{7} — \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{5} — \sqrt{21}$

Шаг 1: Исходное неравенство

Предположим, что $a > b$. Это означает:

$$\sqrt{7} — \sqrt{19} > \sqrt{5} — \sqrt{21}.$$

Шаг 2: Переносим корни с противоположных сторон

Переносим корни на одну сторону, а числа на другую:

$$\sqrt{7} + \sqrt{21} > \sqrt{5} + \sqrt{19}.$$

Шаг 3: Анализ выражений

Теперь мы видим, что:

• $\sqrt{7} > \sqrt{5}$, так как $7 > 5$,
• $\sqrt{21} > \sqrt{19}$, так как $21 > 19$.

Таким образом, неравенство $\sqrt{7} + \sqrt{21} > \sqrt{5} + \sqrt{19}$ верно.

Ответ:

$$a > b.$$

в) $a = \sqrt{29}$ и $b = 1 + \sqrt{19}$

Шаг 1: Исходное неравенство

Предположим, что $a > b$. Это означает:

$$\sqrt{29} > 1 + \sqrt{19}.$$

Шаг 2: Возведение обеих сторон в квадрат

Для избавления от квадратных корней возводим обе стороны неравенства в квадрат:

$$(\sqrt{29})^2 > (1 + \sqrt{19})^2.$$

Шаг 3: Раскрытие квадратов

Теперь раскрываем квадратные выражения:

$$(\sqrt{29})^2 = 29,$$ $$(1 + \sqrt{19})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 = 1 + 2\sqrt{19} + 19 = 20 + 2\sqrt{19}.$$

Итак, неравенство превращается в:

$$29 > 20 + 2\sqrt{19}.$$

Шаг 4: Упрощение неравенства

Теперь уменьшаем обе стороны на 20:

$$9 > 2\sqrt{19}.$$

Шаг 5: Возведение обеих сторон в квадрат

Для избавления от квадратного корня возводим обе стороны в квадрат:

$$9^2 > (2\sqrt{19})^2,$$ $$81 > 4 \cdot 19,$$ $$81 > 76 \quad \text{— верно}.$$

Ответ:

$$a > b.$$

г) $a = \sqrt{17} — \sqrt{59}$ и $b = \sqrt{15} — \sqrt{61}$

Шаг 1: Исходное неравенство

Предположим, что $a > b$. Это означает:

$$\sqrt{17} — \sqrt{59} > \sqrt{15} — \sqrt{61}.$$

Шаг 2: Переносим корни с противоположных сторон

Переносим корни на одну сторону, а числа на другую:

$$\sqrt{17} + \sqrt{61} > \sqrt{15} + \sqrt{59}.$$

Шаг 3: Анализ выражений

Теперь мы видим, что:

• $\sqrt{17} > \sqrt{15}$, так как $17 > 15$,
• $\sqrt{61} > \sqrt{59}$, так как $61 > 59$.

Таким образом, неравенство $\sqrt{17} + \sqrt{61} > \sqrt{15} + \sqrt{59}$ верно.

Ответ:

$$a > b.$$