ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = 2t + 1$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 2 \, \text{с}$ до момента:

а) $t_2 = 3 \, \text{с}$;

б) $t_2 = 2{,}5 \, \text{с}$;

в) $t_2 = 2{,}1 \, \text{с}$;

г) $t_2 = 2{,}05 \, \text{с}$.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 2 \, \text{с}$.

Уравнение движения $s(t) = 2t + 1$;

а) $t_1 = 2 \, \text{с}$ и $t_2 = 3 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(3) — s(2)}{3 — 2} = \frac{2 \cdot 3 + 1 — (2 \cdot 2 + 1)}{1} = \frac{6 + 1 — 4 — 1}{1} = \frac{6 — 4}{1} = 2 \, (\text{м/с});$$

б) $t_1 = 2 \, \text{с}$ и $t_2 = 2,5 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(2,5)-s(2)}{2,5-2}=\frac{2\cdot 2,5+1-(2\cdot 2+1)}{0,5}=\frac{5+1-4-1}{0,5}=$$

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(2,5) — s(2)}{2,5 — 2} = \frac{2 \cdot 2,5 + 1 — (2 \cdot 2 + 1)}{0,5} = \frac{5 + 1 — 4 — 1}{0,5} = \frac{5 — 4}{0,5} = \frac{1}{0,5} = 2 \, (\text{м/с});$$

в) $t_1 = 2 \, \text{с}$ и $t_2 = 2,1 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(2,1)-s(2)}{2,1-2}=\frac{2\cdot 2,1+1-(2\cdot 2+1)}{0,1}=\frac{4,2+1-4-1}{0,1}=$$

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(2,1) — s(2)}{2,1 — 2} = \frac{2 \cdot 2,1 + 1 — (2 \cdot 2 + 1)}{0,1} = \frac{4,2 + 1 — 4 — 1}{0,1} = \frac{4,2 — 4}{0,1} = \frac{0,2}{0,1} = 2 \, (\text{м/с});$$

г) $t_1 = 2 \, \text{с}$ и $t_2 = 2,05 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s(2,05)-s(2)}{2,05-2}=\frac{2\cdot 2,05+1-(2\cdot 2+1)}{0,05}=\frac{4,1+1-4-1}{0,05}=$$

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(2,05) — s(2)}{2,05 — 2} = \frac{2 \cdot 2,05 + 1 — (2 \cdot 2 + 1)}{0,05} = \frac{4,1 + 1 — 4 — 1}{0,05} = \frac{4,1 — 4}{0,05} = \frac{0,1}{0,05} = 2 \, (\text{м/с});$$

Мгновенная скорость точки в момент времени $t = 2 \, \text{с}$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{t + \Delta t — t} = \frac{2(t + \Delta t) + 1 — (2t + 1)}{\Delta t} = \frac{2t + 2\Delta t — 2t}{\Delta t} = \frac{2\Delta t}{\Delta t} = 2;$$

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = 2 \, (\text{м/с})$$

Закон движения точки:

$$s(t) = 2t + 1$$

Где:

• $s(t)$ — положение точки в момент времени $t$ (в метрах),
• $t$ — время в секундах.

Шаг 1: Формула средней скорости

Средняя скорость на отрезке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$$v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1}$$

Шаг 2: Подставим $t_1 = 2 \, \text{с}$ и найдём $s(2)$

$$s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м}$$

а) $t_2 = 3 \, \text{с}$

1. Найдём $s(3)$:

$$s(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \, \text{м}$$

2. Найдём среднюю скорость:

$$v_{\text{ср}} = \frac{7 — 5}{3 — 2} = \frac{2}{1} = 2 \, \text{м/с}$$

б) $t_2 = 2{,}5 \, \text{с}$

1. Найдём $s(2{,}5)$:

$$s(2{,}5) = 2 \cdot 2{,}5 + 1 = 5 + 1 = 6 \, \text{м}$$

2. Средняя скорость:

$$v_{\text{ср}} = \frac{6 — 5}{2{,}5 — 2} = \frac{1}{0{,}5} = 2 \, \text{м/с}$$

в) $t_2 = 2{,}1 \, \text{с}$

1. $s(2{,}1) = 2 \cdot 2{,}1 + 1 = 4{,}2 + 1 = 5{,}2 \, \text{м}$

2. Средняя скорость:

$$v_{\text{ср}} = \frac{5{,}2 — 5}{2{,}1 — 2} = \frac{0{,}2}{0{,}1} = 2 \, \text{м/с}$$

г) $t_2 = 2{,}05 \, \text{с}$

1. $s(2{,}05) = 2 \cdot 2{,}05 + 1 = 4{,}1 + 1 = 5{,}1 \, \text{м}$

2. Средняя скорость:

$$v_{\text{ср}} = \frac{5{,}1 — 5}{2{,}05 — 2} = \frac{0{,}1}{0{,}05} = 2 \, \text{м/с}$$

Шаг 3: Мгновенная скорость в момент времени $t = 2 \, \text{с}$

Мгновенная скорость — это производная функции $s(t)$ по времени:

$$v(t) = s'(t)$$

Функция:

$$s(t) = 2t + 1$$

Берём производную:

$$s'(t) = \frac{d}{dt}(2t + 1) = 2$$

Значит:

$$v(2) = s'(2) = 2 \, \text{м/с}$$

Ответы:

а) $v_{\text{ср}} = 2 \, \text{м/с}$

б) $v_{\text{ср}} = 2 \, \text{м/с}$

в) $v_{\text{ср}} = 2 \, \text{м/с}$

г) $v_{\text{ср}} = 2 \, \text{м/с}$

Мгновенная скорость при $t = 2 \, \text{с}$: $2 \, \text{м/с}$