ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите скорость изменения функции в точке х:

a) у = 9,5x — 3;

б) у = -16x + 3;

в) у = 6,7x — 13;

г) у = -9x + 4.

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;

а) $y = 9{,}5x — 3$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{9{,}5(x + \Delta x) — 3 — (9{,}5x — 3)}{\Delta x} =$$ $$= \frac{9{,}5x + 9{,}5\Delta x — 9{,}5x}{\Delta x} = \frac{9{,}5\Delta x}{\Delta x} = 9{,}5;$$

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 9{,}5 = 9{,}5;$$

Ответ: $9{,}5$.

б) $y = -16x + 3$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{-16(x + \Delta x) + 3 — (-16x + 3)}{\Delta x} =$$ $$= \frac{-16x — 16\Delta x + 16x}{\Delta x} = \frac{-16\Delta x}{\Delta x} = -16;$$

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-16) = -16;$$

Ответ: $-16$.

в) $y = 6{,}7x — 13$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{6{,}7(x + \Delta x) — 13 — (6{,}7x — 13)}{\Delta x} =$$ $$= \frac{6{,}7x + 6{,}7\Delta x — 6{,}7x}{\Delta x} = \frac{6{,}7\Delta x}{\Delta x} = 6{,}7;$$

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 6{,}7 = 6{,}7;$$

Ответ: $6{,}7$.

г) $y = -9x + 4$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{-9(x + \Delta x) + 4 — (-9x + 4)}{\Delta x} =$$ $$= \frac{-9x — 9\Delta x + 9x}{\Delta x} = \frac{-9\Delta x}{\Delta x} = -9;$$

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-9) = -9;$$

Ответ: $-9$.

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x$ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

Это значение показывает скорость изменения функции в данной точке.

Если функция линейная, то её производная равна коэффициенту при $x$, потому что наклон прямой постоянен.

а) $y = 9{,}5x — 3$

Шаг 1: Найдём приращение функции $\Delta y$

Пусть $f(x) = 9{,}5x — 3$

Тогда:

$$f(x + \Delta x) = 9{,}5(x + \Delta x) — 3$$

Рассчитаем:

$$f(x + \Delta x) = 9{,}5x + 9{,}5\Delta x — 3$$

Теперь найдём приращение функции:

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = (9{,}5x + 9{,}5\Delta x — 3) — (9{,}5x — 3)$$

Раскроем скобки:

$$\Delta y = 9{,}5x + 9{,}5\Delta x — 3 — 9{,}5x + 3$$

Сгруппируем и упростим:

$$\Delta y = (9{,}5x — 9{,}5x) + (9{,}5\Delta x) + (-3 + 3) = 9{,}5\Delta x$$

Шаг 2: Вычислим отношение приращений

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{9{,}5\Delta x}{\Delta x}$$

Сократим:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 9{,}5$$

Шаг 3: Найдём производную как предел

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 9{,}5 = 9{,}5$$

Ответ: $\boxed{9{,}5}$

б) $y = -16x + 3$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

$$f(x + \Delta x) = -16(x + \Delta x) + 3 = -16x — 16\Delta x + 3$$

Шаг 2: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)$

$$f(x) = -16x + 3$$ $$\Delta y = (-16x — 16\Delta x + 3) — (-16x + 3)$$ $$= -16x — 16\Delta x + 3 + 16x — 3 = -16\Delta x$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-16\Delta x}{\Delta x} = -16$$

Шаг 4: Предел

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} (-16) = -16$$

Ответ: $\boxed{-16}$

в) $y = 6{,}7x — 13$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

$$f(x + \Delta x) = 6{,}7(x + \Delta x) — 13 = 6{,}7x + 6{,}7\Delta x — 13$$

Шаг 2: $\Delta y$

$$f(x) = 6{,}7x — 13$$ $$\Delta y = (6{,}7x + 6{,}7\Delta x — 13) — (6{,}7x — 13)$$ $$= 6{,}7x + 6{,}7\Delta x — 13 — 6{,}7x + 13 = 6{,}7\Delta x$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6{,}7\Delta x}{\Delta x} = 6{,}7$$

Шаг 4: Предел

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} 6{,}7 = 6{,}7$$

Ответ: $\boxed{6{,}7}$

г) $y = -9x + 4$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

$$f(x + \Delta x) = -9(x + \Delta x) + 4 = -9x — 9\Delta x + 4$$

Шаг 2: $\Delta y$

$$f(x)=-9x+4$$

$$f(x) = -9x + 4$$ $$\mathrm{\Delta }y=(-9x-9\mathrm{\Delta }x+4)-(-9x+4)=-9x-9\mathrm{\Delta }x+4+9x-4=$$

$$\Delta y = (-9x — 9\Delta x + 4) — (-9x + 4) = -9x — 9\Delta x + 4 + 9x — 4 = -9\Delta x$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-9\Delta x}{\Delta x} = -9$$

Шаг 4: Предел

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} (-9) = -9$$

Ответ: $\boxed{-9}$