ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите скорость изменения функции у = f(x) в указанной точке:

а) $f(x) = x^2$ и $x_0 = 2$

б) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -1$

в) $f(x) = x^2$ и $x_0 = -2$

г) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -0{,}5$

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;

а) $f(x) = x^2$ и $x_0 = 2$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} = \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} =$$ $$= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x;$$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2 \cdot 2 + 0 = 4;$$

Ответ: $4$.

б) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -1$:

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)};$$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)};$$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x(x + \Delta x)} \right) = -\frac{1}{-1(-1 + 0)} = -\frac{1}{(-1)^2} = -1;$$

Ответ: $-1$.

в) $f(x) = x^2$ и $x_0 = -2$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} = \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} =$$ $$= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x;$$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = -2 \cdot 2 + 0 = -4;$$

Ответ: $-4$.

г) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -0{,}5$:

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)};$$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)};$$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x(x + \Delta x)} \right) = \frac{-1}{-0{,}5(-0{,}5 + 0)} = \frac{-1}{0{,}25} = -4;$$

Ответ: $-4$.

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ вычисляется по определению:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)}{\Delta x}$$

Этот предел показывает, насколько быстро изменяется значение функции при малом изменении $x$ около точки $x_0$.

а) $f(x) = x^2$, $x_0 = 2$

Шаг 1: Найдём $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$

• $f(x) = x^2$
• $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2$

Раскроем квадрат суммы:

$$f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 2: Приращение функции

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 — x^2$$

Сократим одинаковые члены:

$$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 3: Отношение приращений

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$$

Разделим каждый член числителя на $\Delta x$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x$$

Шаг 4: Предел при $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$$

Подставим $x = 2$:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Ответ: $\boxed{4}$

б) $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = -1$

Шаг 1: Выражение для приращения функции

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\Delta y = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 2: Найдём отношение приращений

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x}$$

Сократим $\Delta x$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 3: Предел при $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{1}{x^2}$$

Подставим $x = -1$:

$$f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

в) $f(x) = x^2$, $x_0 = -2$

Шаг 1: $f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2$

Раскрытие скобок:

$$f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 2: Найдём $\Delta y$

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 — x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 3: Отношение приращений

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x$$

Шаг 4: Предел при $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$$

Подставим $x = -2$:

$$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$$

Ответ: $\boxed{-4}$

г) $f(x) = \frac{1}{x}$, $x_0 = -0{,}5$

Шаг 1: Вычислим $\Delta y$

$$\Delta y = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 2: Отношение приращений

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 3: Предел при $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x(x + \Delta x)} \right) = -\frac{1}{x^2}$$

Подставим $x = -0{,}5$:

$$f'(-0{,}5) = -\frac{1}{(-0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} = -4$$

Ответ: $\boxed{-4}$