ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение (скорость изменения скорости) в момент времени $t$, если:

а) $t = 1 \, \text{с}$;
б) $t = 2{,}1 \, \text{с}$;
в) $t = 2 \, \text{с}$;
г) $t = 3{,}5 \, \text{с}$.

Уравнение движения $s(t) = t^2$;

Мгновенная скорость точки в момент времени $t$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{t + \Delta t — t} = \frac{(t + \Delta t)^2 — t^2}{\Delta t} = \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — t^2}{\Delta t} =$$ $$= \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t;$$

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t) = 2t + 0 = 2t \, (\text{м/с});$$

Ускорение точки в момент времени $t$:

$$\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t + \Delta t) — v(t)}{\Delta t} = \frac{2(t + \Delta t) — 2t}{\Delta t} = \frac{2t + 2\Delta t — 2t}{\Delta t} = \frac{2\Delta t}{\Delta t} = 2;$$

$$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

а) Если $t = 1 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 1 = 2 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

б) Если $t = 2{,}1 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 2{,}1 = 4{,}2 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

в) Если $t = 2 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 2 = 4 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

г) Если $t = 3{,}5 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 3{,}5 = 7 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

Дано уравнение движения точки по прямой:

$$s(t) = t^2,$$

где:

• $s(t)$ — путь (или отклонение точки от начального положения) в метрах;
• $t$ — время в секундах.

Найти:

1. Мгновенную скорость $v(t)$ в момент времени $t$;
2. Мгновенное ускорение $a(t)$ в момент времени $t$;
   для следующих значений времени:

а) $t = 1 \, \text{с}$;
б) $t = 2{,}1 \, \text{с}$;
в) $t = 2 \, \text{с}$;
г) $t = 3{,}5 \, \text{с}$.

ШАГ 1: Найдём скорость как производную от $s(t)$

Формула мгновенной скорости $v(t)$ — это первая производная функции положения $s(t)$ по времени $t$:

$$v(t) = \frac{ds(t)}{dt}$$

Дано:

$$s(t) = t^2$$

Находим производную:

$$\frac{d}{dt}(t^2) = 2t$$

Значит,

$$\boxed{v(t) = 2t \, \text{(м/с)}}$$

ШАГ 2: Найдём ускорение как производную от скорости $v(t)$

Формула ускорения $a(t)$ — это первая производная скорости по времени:

$$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$$

Ранее мы нашли:

$$v(t) = 2t$$

Берём производную:

$$\frac{d}{dt}(2t) = 2$$

Значит,

$$\boxed{a(t) = 2 \, \text{(м/с}^2\text{)}}$$

ШАГ 3: Подставим конкретные значения времени

а) При $t = 1 \, \text{с}$:

Скорость:

$$v(1) = 2 \cdot 1 = \boxed{2 \, \text{м/с}}$$

Ускорение:

$$a(1) = \boxed{2 \, \text{м/с}^2}$$

б) При $t = 2{,}1 \, \text{с}$:

Скорость:

$$v(2{,}1) = 2 \cdot 2{,}1 = \boxed{4{,}2 \, \text{м/с}}$$

Ускорение:

$$a(2{,}1) = \boxed{2 \, \text{м/с}^2}$$

в) При $t = 2 \, \text{с}$:

Скорость:

$$v(2) = 2 \cdot 2 = \boxed{4 \, \text{м/с}}$$

Ускорение:

$$a(2) = \boxed{2 \, \text{м/с}^2}$$

г) При $t = 3{,}5 \, \text{с}$:

Скорость:

$$v(3{,}5) = 2 \cdot 3{,}5 = \boxed{7 \, \text{м/с}}$$

Ускорение:

$$a(3{,}5) = \boxed{2 \, \text{м/с}^2}$$