ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения некоторой точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени $t$, если:

а) $t = 1 \, \text{с}$;
б) $t = 2{,}1 \, \text{с}$;
в) $t = 2 \, \text{с}$;
г) $t = 3{,}5 \, \text{с}$.

Уравнение движения $s(t) = t^2 + t$;

Мгновенная скорость точки в момент времени $t$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{t + \Delta t — t} = \frac{(t + \Delta t)^2 + (t + \Delta t) — t^2 — t}{\Delta t} =$$ $$= \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 + t + \Delta t — t^2}{\Delta t} = \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t} = 2t + \Delta t + 1;$$

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t + 1) = 2t + 0 + 1 = 2t + 1 \, (\text{м/с});$$

Ускорение точки в момент времени $t$:

$$\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v(t + \Delta t) — v(t)}{\Delta t} = \frac{2(t + \Delta t) + 1 — (2t + 1)}{\Delta t} = \frac{2t + 2\Delta t + 1 — 2t — 1}{\Delta t} = \frac{2\Delta t}{\Delta t} = 2;$$

$$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

а) Если $t = 1 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

б) Если $t = 2{,}1 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 2{,}1 + 1 = 4{,}2 + 1 = 5{,}2 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

в) Если $t = 2 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2);$$

г) Если $t = 3{,}5 \, \text{с}$, тогда:

$$v = 2 \cdot 3{,}5 + 1 = 7 + 1 = 8 \, (\text{м/с});$$ $$a = 2 \, (\text{м/с}^2)$$

Уравнение движения точки по прямой:

$$s(t) = t^2 + t$$

где
$t$ — время (в секундах),
$s(t)$ — путь (в метрах), пройденный точкой от начального положения.

Найти:

Мгновенную скорость точки $v(t)$

Ускорение точки $a(t)$

Вычислить $v$ и $a$ при:

• а) $t = 1 \, \text{с}$
• б) $t = 2{,}1 \, \text{с}$
• в) $t = 2 \, \text{с}$
• г) $t = 3{,}5 \, \text{с}$

Решение:

1. Мгновенная скорость $v(t)$

Мгновенная скорость — это производная функции $s(t)$ по времени $t$:

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t}$$

Шаг 1. Выражаем $s(t + \Delta t)$:

$$s(t + \Delta t) = (t + \Delta t)^2 + (t + \Delta t)$$

Раскрываем скобки:

$$(t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2$$

Тогда:

$$s(t + \Delta t) = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 + t + \Delta t$$

Шаг 2. Находим разность $s(t + \Delta t) — s(t)$:

$$s(t) = t^2 + t$$ $$s(t + \Delta t) — s(t) = (t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 + t + \Delta t) — (t^2 + t)$$

Сокращаем:

$$= 2t\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t$$

Шаг 3. Делим на $\Delta t$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t}$$

Разделим каждое слагаемое:

$$= \frac{2t\Delta t}{\Delta t} + \frac{(\Delta t)^2}{\Delta t} + \frac{\Delta t}{\Delta t} = 2t + \Delta t + 1$$

Шаг 4. Переход к пределу (мгновенная скорость):

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t + 1) = 2t + 0 + 1 = 2t + 1$$

Ответ:

$$v(t) = 2t + 1 \quad \text{(в метрах в секунду)}$$

2. Ускорение $a(t)$

Ускорение — производная скорости по времени, то есть вторая производная от $s(t)$:

$$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t + \Delta t) — v(t)}{\Delta t}$$

Из предыдущего шага:

$$v(t) = 2t + 1$$ $$v(t + \Delta t) = 2(t + \Delta t) + 1 = 2t + 2\Delta t + 1$$ $$v(t + \Delta t) — v(t) = (2t + 2\Delta t + 1) — (2t + 1) = 2\Delta t$$ $$\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2\Delta t}{\Delta t} = 2$$ $$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = 2$$

Ответ:

$$a(t) = 2 \quad \text{(в метрах в секунду в квадрате)}$$

3. Подстановка конкретных значений $t$:

а) $t = 1 \, \text{с}$

$$v = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \, \text{м/с}$$ $$a = 2 \, \text{м/с}^2$$

б) $t = 2{,}1 \, \text{с}$

$$v = 2 \cdot 2{,}1 + 1 = 4{,}2 + 1 = 5{,}2 \, \text{м/с}$$ $$a = 2 \, \text{м/с}^2$$

в) $t = 2 \, \text{с}$

$$v = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м/с}$$ $$a = 2 \, \text{м/с}^2$$

г) $t = 3{,}5 \, \text{с}$

$$v = 2 \cdot 3{,}5 + 1 = 7 + 1 = 8 \, \text{м/с}$$ $$a = 2 \, \text{м/с}^2$$