ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $A(2; -4{,}5)$. Вычислите $f'(2)$.

б) Прямая, проходящая через точку $A(1; 1)$, является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $B(3; 4)$. Вычислите $f'(3)$.

40.17.

Производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к этой точке;

а) Касательная в точке $A(2; -4,5)$ проходит через точку $O(0; 0)$:

$$f(2) = k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-4,5 — 0}{2 — 0} = \frac{-4,5}{2} = -2,25;$$

б) Касательная в точке $B(3; 4)$ проходит через точку $A(1; 1)$:

$$f(2) = k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 — 1}{3 — 1} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

а)

Дано:
Прямая, проходящая через начало координат $O(0; 0)$, является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $A(2; -4{,}5)$.

Найти:
Производную функции в точке $x = 2$, то есть $f'(2)$.

Решение:

Шаг 1:
Поскольку касательная проходит через точки $O(0; 0)$ и $A(2; -4{,}5)$, найдем угловой коэффициент $k$ этой прямой.

Формула углового коэффициента прямой, проходящей через две точки:

$$k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}$$

Подставим координаты точек:

$$x_1 = 0,\quad y_1 = 0,\quad x_2 = 2,\quad y_2 = -4{,}5$$ $$k = \frac{-4{,}5 — 0}{2 — 0} = \frac{-4{,}5}{2} = -2{,}25$$

Шаг 2:
Поскольку касательная в точке $A(2; -4{,}5)$ имеет угловой коэффициент $-2{,}25$, а производная функции в точке есть как раз значение углового коэффициента касательной к графику, то:

$$f'(2) = -2{,}25$$

Ответ для а):

$$\boxed{f'(2) = -2{,}25}$$

б)

Дано:
Прямая, проходящая через точку $A(1; 1)$, является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $B(3; 4)$.

Найти:
Производную функции в точке $x = 3$, то есть $f'(3)$.

Решение:

Шаг 1:
Прямая проходит через точки $A(1; 1)$ и $B(3; 4)$, найдём угловой коэффициент $k$.

$$x_1 = 1,\quad y_1 = 1,\quad x_2 = 3,\quad y_2 = 4$$ $$k = \frac{4 — 1}{3 — 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Шаг 2:
Так как прямая является касательной к графику функции в точке $B(3; 4)$, то её угловой коэффициент и есть значение производной в этой точке:

$$f'(3) = 1{,}5$$

Ответ для б):

$$\boxed{f'(3) = 1{,}5}$$