ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0 \, \text{с}$ до момента:

а) $t_2 = 0{,}1 \, \text{с}$;

б) $t_2 = 0{,}01 \, \text{с}$;

в) $t_2 = 0{,}2 \, \text{с}$;

г) $t_2 = 0{,}001 \, \text{с}$.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 1 \, \text{с}$.

Уравнение движения $s(t) = t^2$;

а) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0{,}1 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0{,}1) — s(0)}{0{,}1 — 0} = \frac{0{,}1^2 — 0^2}{0{,}1} = \frac{0{,}1^2}{0{,}1} = 0{,}1 \, (\text{м/с});$$

б) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0{,}01 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0{,}01) — s(0)}{0{,}01 — 0} = \frac{0{,}01^2 — 0^2}{0{,}01} = \frac{0{,}01^2}{0{,}01} = 0{,}01 \, (\text{м/с});$$

в) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0{,}2 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0{,}2) — s(0)}{0{,}2 — 0} = \frac{0{,}2^2 — 0^2}{0{,}2} = \frac{0{,}2^2}{0{,}2} = 0{,}2 \, (\text{м/с});$$

г) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0{,}001 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0{,}001) — s(0)}{0{,}001 — 0} = \frac{0{,}001^2 — 0}{0{,}001} = \frac{0{,}001^2}{0{,}001} = 0{,}001 \, (\text{м/с});$$

Мгновенная скорость точки в момент времени $t = 1 \, \text{с}$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{t + \Delta t — t} = \frac{(t + \Delta t)^2 — t^2}{\Delta t} = \frac{t^2 + 2t \Delta t + (\Delta t)^2 — t^2}{\Delta t} =$$ $$= \frac{2t \Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = \frac{2 \cdot 1 \cdot \Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = 2 + \Delta t;$$

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2 + \Delta t) = 2 + 0 = 2 \, (\text{м/с});$$

Уравнение движения точки по прямой:

$$s(t) = t^2,$$

где

• $s(t)$ — положение точки в момент времени $t$ (в метрах),
• $t$ — время (в секундах).

1. Найдём среднюю скорость точки на различных отрезках времени

Формула средней скорости:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1},$$

где

• $\Delta s$ — изменение координаты (перемещение),
• $\Delta t$ — изменение времени,
• $t_1$ — начальный момент времени,
• $t_2$ — конечный момент времени.

а) $t_1 = 0 \, \text{с},\; t_2 = 0{,}1 \, \text{с}$

Подставим в формулу:

$$s(0{,}1) = (0{,}1)^2 = 0{,}01, \quad s(0) = 0^2 = 0;$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}01 — 0}{0{,}1 — 0} = \frac{0{,}01}{0{,}1} = 0{,}1 \, \text{м/с}.$$

б) $t_1 = 0 \, \text{с},\; t_2 = 0{,}01 \, \text{с}$

$$s(0{,}01) = (0{,}01)^2 = 0{,}0001, \quad s(0) = 0;$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}0001 — 0}{0{,}01 — 0} = \frac{0{,}0001}{0{,}01} = 0{,}01 \, \text{м/с}.$$

в) $t_1 = 0 \, \text{с},\; t_2 = 0{,}2 \, \text{с}$

$$s(0{,}2) = (0{,}2)^2 = 0{,}04, \quad s(0) = 0;$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}04 — 0}{0{,}2 — 0} = \frac{0{,}04}{0{,}2} = 0{,}2 \, \text{м/с}.$$

г) $t_1 = 0 \, \text{с},\; t_2 = 0{,}001 \, \text{с}$

$$s(0{,}001) = (0{,}001)^2 = 0{,}000001, \quad s(0) = 0;$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}000001 — 0}{0{,}001 — 0} = \frac{0{,}000001}{0{,}001} = 0{,}001 \, \text{м/с}.$$

2. Найдём мгновенную скорость в момент времени $t = 1 \, \text{с}$

Формула производной (определения мгновенной скорости):

Мгновенная скорость в момент времени $t$ равна пределу средней скорости при $\Delta t \to 0$:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t}.$$

Шаг 1: Распишем $s(t + \Delta t)$

По формуле $s(t) = t^2$:

$$s(t + \Delta t) = (t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t \cdot \Delta t + (\Delta t)^2.$$

Шаг 2: Найдём приращение $\Delta s$:

$$\Delta s = s(t + \Delta t) — s(t) = (t^2 + 2t \cdot \Delta t + (\Delta t)^2) — t^2 = 2t \cdot \Delta t + (\Delta t)^2.$$

Шаг 3: Подставим в формулу средней скорости:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2t \cdot \Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t}.$$

Разделим числитель на $\Delta t$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2t \cdot \Delta t}{\Delta t} + \frac{(\Delta t)^2}{\Delta t} = 2t + \Delta t.$$

Шаг 4: Найдём предел при $\Delta t \to 0$:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t) = 2t + 0 = 2t.$$

Шаг 5: Подставим $t = 1 \, \text{с}$:

$$v = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{м/с}.$$

Ответ:

а) $0{,}1 \, \text{м/с}$

б) $0{,}01 \, \text{м/с}$

в) $0{,}2 \, \text{м/с}$

г) $0{,}001 \, \text{м/с}$

Мгновенная скорость в момент $t = 1 \, \text{с}$:

$$\boxed{2 \, \text{м/с}}$$