ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0 \, \text{с}$ до момента:

а) $t_2 = 0{,}6 \, \text{с}$;

б) $t_2 = 0{,}2 \, \text{с}$;

в) $t_2 = 0{,}5 \, \text{с}$;

г) $t_2 = 0{,}1 \, \text{с}$.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент $t = 1 \, \text{с}$.

Уравнение движения $s(t) = 2t^2 + t$;

а) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0,6 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0,6) — s(0)}{0,6 — 0} = \frac{2 \cdot 0,6^2 + 0,6 — 2 \cdot 0^2 — 0}{0,6} = \frac{1,32}{0,6} = 2,2 \, (\text{м/с});$$

б) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0,2 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0,2) — s(0)}{0,2 — 0} = \frac{2 \cdot 0,2^2 + 0,2 — 2 \cdot 0^2 — 0}{0,2} = \frac{0,28}{0,2} = 1,4 \, (\text{м/с});$$

в) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0,5 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0,5) — s(0)}{0,5 — 0} = \frac{2 \cdot 0,5^2 + 0,5 — 2 \cdot 0^2 — 0}{0,5} = \frac{1}{0,5} = 2 \, (\text{м/с});$$

г) $t_1 = 0 \, \text{с}$ и $t_2 = 0,1 \, \text{с}$:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(0,1) — s(0)}{0,1 — 0} = \frac{2 \cdot 0,1^2 + 0,1 — 2 \cdot 0^2 — 0}{0,1} = \frac{0,12}{0,1} = 1,2 \, (\text{м/с});$$

Мгновенная скорость точки в момент времени $t = 1 \, \text{с}$:

$$\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{t + \Delta t — t} = \frac{2 \cdot (t + \Delta t)^2 + t + \Delta t — 2t^2 — t}{\Delta t} =$$ $$= \frac{2t^2 + 4t \Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t — 2t^2}{\Delta t} = \frac{4t \Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t} =$$ $$= \frac{4 \Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t} = 4 + 2 \Delta t + 1 = 5 + 2 \Delta t;$$

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (5 + 2 \Delta t) = 5 + 2 \cdot 0 = 5 \, (\text{м/с});$$

Закон движения точки по прямой:

$$s(t) = 2t^2 + t$$

где:

• $s(t)$ — путь в метрах;
• $t$ — время в секундах.

1. Средняя скорость на отрезках времени

Формула средней скорости:

$$v_{\text{ср}} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1}$$

а) От $t_1 = 0 \, \text{с}$ до $t_2 = 0{,}6 \, \text{с}$:

Шаг 1: Найдём $s(0{,}6)$:

$$s(0{,}6) = 2 \cdot (0{,}6)^2 + 0{,}6 = 2 \cdot 0{,}36 + 0{,}6 = 0{,}72 + 0{,}6 = 1{,}32 \, \text{м}$$

Шаг 2: Найдём $s(0)$:

$$s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0$$

Шаг 3: Подставим:

$$v_{\text{ср}} = \frac{1{,}32 — 0}{0{,}6 — 0} = \frac{1{,}32}{0{,}6} = 2{,}2 \, \text{м/с}$$

б) От $t_1 = 0 \, \text{с}$ до $t_2 = 0{,}2 \, \text{с}$:

Шаг 1: $s(0{,}2) = 2 \cdot (0{,}2)^2 + 0{,}2 = 2 \cdot 0{,}04 + 0{,}2 = 0{,}08 + 0{,}2 = 0{,}28 \, \text{м}$

Шаг 2: $s(0) = 0$

Шаг 3:

$$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}28 — 0}{0{,}2 — 0} = \frac{0{,}28}{0{,}2} = 1{,}4 \, \text{м/с}$$

в) От $t_1 = 0 \, \text{с}$ до $t_2 = 0{,}5 \, \text{с}$:

Шаг 1: $s(0{,}5) = 2 \cdot (0{,}5)^2 + 0{,}5 = 2 \cdot 0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0 \, \text{м}$

Шаг 2: $s(0) = 0$

Шаг 3:

$$v_{\text{ср}} = \frac{1 — 0}{0{,}5 — 0} = \frac{1}{0{,}5} = 2 \, \text{м/с}$$

г) От $t_1 = 0 \, \text{с}$ до $t_2 = 0{,}1 \, \text{с}$:

Шаг 1: $s(0{,}1) = 2 \cdot (0{,}1)^2 + 0{,}1 = 2 \cdot 0{,}01 + 0{,}1 = 0{,}02 + 0{,}1 = 0{,}12 \, \text{м}$

Шаг 2: $s(0) = 0$

Шаг 3:

$$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}12 — 0}{0{,}1 — 0} = \frac{0{,}12}{0{,}1} = 1{,}2 \, \text{м/с}$$

2. Мгновенная скорость в момент $t = 1 \, \text{с}$

Мгновенная скорость — это производная функции положения $s(t)$ по времени:

$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$

Метод 1: Через предел (по определению производной)

Рассмотрим:

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t}$$

Подставим $s(t) = 2t^2 + t$:

Шаг 1: Найдём $s(t + \Delta t)$:

$$s(t + \Delta t) = 2(t + \Delta t)^2 + (t + \Delta t)$$

Раскроем скобки:

$$(t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2$$

Подставим:

$$s(t + \Delta t) = 2(t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2) + t + \Delta t = 2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t$$

Шаг 2: Вычислим разность:

$$s(t + \Delta t) — s(t) = [2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t] — [2t^2 + t] = 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t$$

Шаг 3: Разделим на $\Delta t$:

$$\frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \frac{4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t}$$

Разделим каждый член:

$$= 4t + 2\Delta t + 1$$

Шаг 4: Предел при $\Delta t \to 0$:

$$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (4t + 2\Delta t + 1) = 4t + 1$$

Шаг 5: Подставим $t = 1$:

$$v(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5 \, \text{м/с}$$

Метод 2: Производная аналитически

Функция:

$$s(t) = 2t^2 + t$$

Находим производную:

$$v(t) = \frac{d}{dt}(2t^2 + t) = 4t + 1$$

Подставим $t = 1$:

$$v(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5 \, \text{м/с}$$

Ответы:

а) $v_{\text{ср}} = 2{,}2 \, \text{м/с}$

б) $v_{\text{ср}} = 1{,}4 \, \text{м/с}$

в) $v_{\text{ср}} = 2 \, \text{м/с}$

г) $v_{\text{ср}} = 1{,}2 \, \text{м/с}$

Мгновенная скорость в $t = 1 \, \text{с}$:

$$v = 5 \, \text{м/с}$$