ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s = s (t)$ , где $t$ — время (в секундах), $s (t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если:

a) $s (t) = 4 t + 1$ ;
б) $s (t) = t^{2} - t$ ;
в) $s (t) = 3 t + 2$ ;
г) $s (t) = t^{2} - 2 t$ .

Краткий ответ:

a) $s (t) = 4 t + 1$ :

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{s (t + Δ t) - s (t)}{t + Δ t - t} = \frac{4 (t + Δ t) + 1 - 4 t - 1}{Δ t} = \frac{4 t + 4 Δ t - 4 t}{Δ t} = 4;$

$v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ y}{Δ t} = 4 (м/с);$

б) $s (t) = t^{2} - t$ :

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{s (t + Δ t) - s (t)}{t + Δ t - t} = \frac{(t + Δ t)^{2} - (t + Δ t) - t^{2} + t}{Δ t} =$ $= \frac{t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - t - Δ t - t^{2} + t}{Δ t} = \frac{2 t Δ t + (Δ t)^{2} - Δ t}{Δ t} = 2 t + Δ t - 1;$

$v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ y}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} (2 t + Δ t - 1) = 2 t + 0 - 1 = 2 t - 1;$

в) $s (t) = 3 t + 2$ :

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{s (t + Δ t) - s (t)}{t + Δ t - t} = \frac{3 (t + Δ t) + 2 - 3 t - 2}{Δ t} = \frac{3 t + 3 Δ t - 3 t}{Δ t} = 3;$

$v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ y}{Δ t} = 3 (м/с);$

г) $s (t) = t^{2} - 2 t$ :

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{s (t + Δ t) - s (t)}{t + Δ t - t} = \frac{(t + Δ t)^{2} - 2 (t + Δ t) - t^{2} + 2 t}{Δ t} =$ $= \frac{t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 t - 2 Δ t - t^{2} + 2 t}{Δ t} = \frac{2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 Δ t}{Δ t} =$ $= 2 t + Δ t - 2;$

$v = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ y}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} (2 t + Δ t - 2) = 2 t + 0 - 2 = 2 t - 2 (м/с)$

Подробный ответ:

Мгновенная скорость — это производная функции перемещения $s (t)$ по времени $t$ :

$v (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{s (t + Δ t) - s (t)}{Δ t}$

а) $s (t) = 4 t + 1$

Шаг 1: Подставим $s (t + Δ t)$

$s (t + Δ t) = 4 (t + Δ t) + 1 = 4 t + 4 Δ t + 1$

Шаг 2: Найдём $Δ s = s (t + Δ t) - s (t)$

$s (t) = 4 t + 1$ $Δ s = (4 t + 4 Δ t + 1) - (4 t + 1) = 4 t + 4 Δ t + 1 - 4 t - 1 = 4 Δ t$

Шаг 3: Найдём среднюю скорость

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{4 Δ t}{Δ t} = 4$

Шаг 4: Переход к мгновенной скорости

$v (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t} = \lim_{Δ t \to 0} 4 = 4 (м/с)$

б) $s (t) = t^{2} - t$

Шаг 1: Вычислим $s (t + Δ t)$

$s (t + Δ t) = (t + Δ t)^{2} - (t + Δ t)$

Шаг 2: Раскроем скобки

$(t + Δ t)^{2} = t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2}$ $(t + Δ t) = t + Δ t$ $s (t + Δ t) = t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - t - Δ t$

Шаг 3: Вычислим разность $s (t + Δ t) - s (t)$

$s (t) = t^{2} - t$ $Δ s = (t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - t - Δ t) - (t^{2} - t)$ $= t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - t - Δ t - t^{2} + t = 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - Δ t$

Шаг 4: Найдём среднюю скорость

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{2 t Δ t + (Δ t)^{2} - Δ t}{Δ t}$

Разделим каждый член числителя:

$= \frac{2 t Δ t}{Δ t} + \frac{(Δ t)^{2}}{Δ t} - \frac{Δ t}{Δ t} = 2 t + Δ t - 1$

Шаг 5: Найдём мгновенную скорость

$v (t) = \lim_{Δ t \to 0} (2 t + Δ t - 1) = 2 t - 1 (м/с)$

в) $s (t) = 3 t + 2$

Шаг 1: Найдём $s (t + Δ t)$

$s (t + Δ t) = 3 (t + Δ t) + 2 = 3 t + 3 Δ t + 2$

Шаг 2: Вычислим разность

$s (t) = 3 t + 2$ $Δ s = (3 t + 3 Δ t + 2) - (3 t + 2) = 3 Δ t$

Шаг 3: Средняя скорость

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{3 Δ t}{Δ t} = 3$

Шаг 4: Мгновенная скорость

$v (t) = \lim_{Δ t \to 0} 3 = 3 (м/с)$

г) $s (t) = t^{2} - 2 t$

Шаг 1: Найдём $s (t + Δ t)$

$s (t + Δ t) = (t + Δ t)^{2} - 2 (t + Δ t)$ $= t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 t - 2 Δ t$

Шаг 2: Вычислим $s (t + Δ t) - s (t)$

$s (t) = t^{2} - 2 t$ $Δ s = [t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 t - 2 Δ t] - [t^{2} - 2 t]$ $= t^{2} + 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 t - 2 Δ t - t^{2} + 2 t = 2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 Δ t$

Шаг 3: Средняя скорость

$\frac{Δ s}{Δ t} = \frac{2 t Δ t + (Δ t)^{2} - 2 Δ t}{Δ t} = 2 t + Δ t - 2$

Шаг 4: Мгновенная скорость

$v (t) = \lim_{Δ t \to 0} (2 t + Δ t - 2) = 2 t - 2 (м/с)$

Итог:

Закон движения $s (t)$	Мгновенная скорость $v (t)$
$s (t) = 4 t + 1$	$v (t) = 4 м/с$
$s (t) = t^{2} - t$	$v (t) = 2 t - 1 м/с$
$s (t) = 3 t + 2$	$v (t) = 3 м/с$
$s (t) = t^{2} - 2 t$	$v (t) = 2 t - 2 м/с$

Оцени решение