ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция $y = f(x)$ задана своим графиком. Определите значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, если график функции изображён:

а) на рис. 83;
б) на рис. 84;
в) на рис. 85;
г) на рис. 86.

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен ее производной в точке касания;

а) Рисунок 83:
$f'(x_1) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3};$
$f'(x_2) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1;$

б) Рисунок 84:
$f'(x_1) = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3};$
$f'(x_2) = \operatorname{tg} 0 = 0;$

в) Рисунок 85:
$f'(x_1) = \operatorname{tg} 0 = 0;$
$f'(x_2) = \operatorname{tg} 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

г) Рисунок 86:
$f'(x_1) = \operatorname{tg} 0 = 0;$
$f'(x_2) = \operatorname{tg} 0 = 0$

Производная функции в точке $x = x_0$, обозначаемая как $f'(x_0)$, равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Угловой коэффициент прямой — это тангенс угла $\alpha$ между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс.
То есть:

$$f'(x_0) = \tg(\alpha)$$

Важно: угол $\alpha$ измеряется против часовой стрелки от положительного направления оси $x$ до касательной.

а) Рисунок 83

По условию:

• Касательная в точке $x_1$ наклонена под углом $60^\circ$.
• Касательная в точке $x_2$ наклонена под углом $45^\circ$.

В точке $x_1$:

$$f'(x_1) = \tg(60^\circ) = \sqrt{3}$$

Пояснение: угол $60^\circ$ — это угол наклона касательной к оси $x$. Тангенс этого угла положительный, значит функция возрастает в этой точке.

В точке $x_2$:

$$f'(x_2) = \tg(45^\circ) = 1$$

Пояснение: угол $45^\circ$ даёт тангенс равный 1. Это означает, что график в этой точке поднимается под углом в 45°, что характерно для умеренного роста функции.

б) Рисунок 84

По условию:

• Касательная в точке $x_1$ наклонена под углом $30^\circ$.
• Касательная в точке $x_2$ горизонтальна, т.е. угол $0^\circ$.

В точке $x_1$:

$$f'(x_1) = \tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Пояснение: Небольшой положительный угол наклона указывает на медленно возрастающую функцию в этой точке.

В точке $x_2$:

$$f'(x_2) = \tg(0^\circ) = 0$$

Пояснение: Горизонтальная касательная означает, что производная равна нулю, т.е. функция имеет экстремум (минимум или максимум) в этой точке.

в) Рисунок 85

По условию:

• В точке $x_1$ касательная горизонтальна, угол наклона $0^\circ$.
• В точке $x_2$ угол наклона касательной — $150^\circ$.

В точке $x_1$:

$$f'(x_1) = \tg(0^\circ) = 0$$

Пояснение: Как и в предыдущем случае, горизонтальная касательная ⇒ производная равна нулю ⇒ возможный экстремум.

В точке $x_2$:

$$f'(x_2) = \tg(150^\circ) = \tg(180^\circ — 30^\circ) = -\tg(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Пояснение: Угол во II четверти, значит тангенс отрицательный — функция убывает в этой точке.

г) Рисунок 86

По условию:

• В обеих точках $x_1$ и $x_2$ касательные горизонтальны.
  То есть угол наклона — $0^\circ$ для обеих точек.

В точке $x_1$:

$$f'(x_1) = \tg(0^\circ) = 0$$

В точке $x_2$:

$$f'(x_2) = \tg(0^\circ) = 0$$

Пояснение: Значит, в обоих случаях касательные горизонтальны ⇒ производная равна нулю ⇒ функция в этих точках либо имеет экстремум, либо «перелом».

Ответ:

а)
$f'(x_1) = \sqrt{3}$,
$f'(x_2) = 1$

б)
$f'(x_1) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
$f'(x_2) = 0$

в)
$f'(x_1) = 0$,
$f'(x_2) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

г)
$f'(x_1) = 0$,
$f'(x_2) = 0$