ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 87). Сравните значения производной в указанных точках:

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$;
б) $f'(-4)$ и $f'(2)$;
в) $f'(-9)$ и $f'(0)$;
г) $f'(-1)$ и $f'(5)$.

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;

а) При $x = -7$ функция убывает, а при $x = -2$ — возрастает, значит:
$f'(-7) < f'(-2);$

б) При $x = -4$ функция убывает, а при $x = 2$ — возрастает, значит:
$f'(-4) < f'(2);$

в) При $x = -9$ функция убывает, а при $x = 0$ — возрастает, значит:
$f'(-9) < f'(0);$

г) При $x = -1$ функция возрастает, а при $x = 5$ — убывает, значит:
$f'(-1) > f'(5)$

Производная $f'(x)$ в точке $x$ показывает скорость изменения функции — то есть, насколько круто поднимается или опускается график в этой точке.

• Если график идёт вверх (функция возрастает), то производная положительная.
• Если график идёт вниз (функция убывает), то производная отрицательная.
• Чем круче подъём или спад, тем по модулю больше производная.

Условие:

Функция $y = f(x)$ задана графиком (рис. 87). Нужно сравнить значения производной в указанных точках.

а) Сравнить $f'(-7)$ и $f'(-2)$

Шаг 1: Смотрим на поведение графика в точке $x = -7$.
На графике видно, что при $x = -7$ функция убывает — то есть кривая идёт вниз слева направо.
Это означает:

$$f'(-7) < 0 \quad \text{(производная отрицательная)}$$

Шаг 2: Смотрим на поведение графика при $x = -2$.
Там функция возрастает — кривая идёт вверх.
Значит:

$$f'(-2) > 0 \quad \text{(производная положительная)}$$

Вывод: Производная в точке $x = -7$ меньше, чем в точке $x = -2$:

$$\boxed{f'(-7) < f'(-2)}$$

б) Сравнить $f'(-4)$ и $f'(2)$

Шаг 1: В точке $x = -4$ график убывает, то есть идет вниз.
Это значит:

$$f'(-4) < 0$$

Шаг 2: В точке $x = 2$ график возрастает (идёт вверх), следовательно:

$$f'(2) > 0$$

Вывод: Отрицательная производная меньше положительной, значит:

$$\boxed{f'(-4) < f'(2)}$$

в) Сравнить $f'(-9)$ и $f'(0)$

Шаг 1: В точке $x = -9$ функция также убывает, следовательно:

$$f'(-9) < 0$$

Шаг 2: В точке $x = 0$ график возрастает, т.е. производная положительная:

$$f'(0) > 0$$

Вывод:

$$\boxed{f'(-9) < f'(0)}$$

г) Сравнить $f'(-1)$ и $f'(5)$

Шаг 1: При $x = -1$ график функции идёт вверх, значит:

$$f'(-1) > 0$$

Шаг 2: При $x = 5$ график функции идёт вниз — убывает, значит:

$$f'(5) < 0$$

Вывод: Положительная производная больше отрицательной:

$$\boxed{f'(-1) > f'(5)}$$

ИТОГОВЫЙ ОТВЕТ:

а) $f'(-7) < f'(-2)$
б) $f'(-4) < f'(2)$
в) $f'(-9) < f'(0)$
г) $f'(-1) > f'(5)$