ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 87). Укажите два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0$, $f'(x_2) > 0$;

б) $f'(x_1) < 0$, $f'(x_2) > 0$;

в) $f'(x_1) < 0$, $f'(x_2) < 0$;

г) $f'(x_1) > 0$, $f'(x_2) < 0$.

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;

а) Функция возрастает при $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$, значит:
$f'(1) > 0 \quad \text{и} \quad f'(2) > 0;$

б) Функция убывает при $x_1 = 4$ и возрастает при $x_2 = 0$, значит:
$f'(4) < 0 \quad \text{и} \quad f'(0) > 0;$

в) Функция убывает при $x_1 = -8$ и $x_2 = 6$, значит:
$f'(-8) < 0 \quad \text{и} \quad f'(6) < 0;$

г) Функция возрастает при $x_1 = -1$ и убывает при $x_2 = 5$, значит:
$f'(-1) > 0 \quad \text{и} \quad f'(5) < 0$

Скорость изменения функции равна её производной в данной точке.

Укажите два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0$, $f'(x_2) > 0$;

б) $f'(x_1) < 0$, $f'(x_2) > 0$;

в) $f'(x_1) < 0$, $f'(x_2) < 0$;

г) $f'(x_1) > 0$, $f'(x_2) < 0$;

Теоретическое обоснование:

Производная функции $f'(x)$ в точке $x$ показывает скорость изменения функции, то есть насколько быстро и в каком направлении меняется значение функции в этой точке.

Если производная:

• $f'(x) > 0$, то функция возрастает в этой точке (график идёт вверх слева направо).
• $f'(x) < 0$, то функция убывает в этой точке (график идёт вниз слева направо).
• $f'(x) = 0$, то функция имеет горизонтальный касательный (возможен экстремум — максимум или минимум).

Следовательно, если на графике видно, что при каком-то значении $x$ функция возрастает (наклон вверх), то в этой точке производная положительна. Если убывает — производная отрицательна.

а) $f'(x_1) > 0$, $f'(x_2) > 0$

Нужно найти два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых функция возрастает (то есть её график идёт вверх).

По описанию:

• При $x_1 = 1$ график возрастает → значит $f'(1) > 0$
• При $x_2 = 2$ график также возрастает → значит $f'(2) > 0$

Ответ:

$$f'(1) > 0 \quad \text{и} \quad f'(2) > 0$$

б) $f'(x_1) < 0$, $f'(x_2) > 0$

Ищем такую пару значений, при которых:

• функция убывает в $x_1$
• функция возрастает в $x_2$

По описанию:

• При $x_1 = 4$ график убывает → $f'(4) < 0$
• При $x_2 = 0$ график возрастает → $f'(0) > 0$

Ответ:

$$f'(4) < 0 \quad \text{и} \quad f'(0) > 0$$

в) $f'(x_1) < 0$, $f'(x_2) < 0$

Обе точки должны соответствовать участкам, где функция убывает.

По описанию:

• При $x_1 = -8$ функция убывает → $f'(-8) < 0$
• При $x_2 = 6$ функция также убывает → $f'(6) < 0$

Ответ:

$$f'(-8) < 0 \quad \text{и} \quad f'(6) < 0$$

г) $f'(x_1) > 0$, $f'(x_2) < 0$

Одна точка на возрастании, другая — на убывании.

По описанию:

• При $x_1 = -1$ функция возрастает → $f'(-1) > 0$
• При $x_2 = 5$ функция убывает → $f'(5) < 0$

Ответ:

$$f'(-1) > 0 \quad \text{и} \quad f'(5) < 0$$