ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рис. 88). Укажите несколько значений аргумента, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$;

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;

в) $\varphi'(x) < 0$;

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$.

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;
В вершинах графика скорость изменения функции равна нулю;

а) Функция возрастает на участках $x \in (-8; -4) \cup (0; 3)$, значит ее производная в каждой из этих точек положительна, например:

$$\varphi'(-7) > 0;$$ $$\varphi'(-6) > 0;$$ $$\varphi'(-5) > 0;$$ $$\varphi'(1) > 0;$$ $$\varphi'(2) > 0;$$

б) Функция убывает при $x > 0$ на участке $x \in (3; 5)$, значит ее производная в каждой из этих точек отрицательна, например:

$$\varphi'(3,5) < 0;$$ $$\varphi'(4) < 0;$$ $$\varphi'(4,8) < 0;$$

в) Функция убывает на участках $x \in (-10; -8) \cup (-4; 0) \cup (3; 5)$, значит ее производная в каждой из этих точек отрицательна, например:

$$\varphi'(-9) < 0;$$ $$\varphi'(-3) < 0;$$ $$\varphi'(-2) < 0;$$ $$\varphi'(-1) < 0;$$ $$\varphi'(4) < 0;$$

г) Функция возрастает при $x < 0$ на участке $x \in (-8; -4)$, значит ее производная в каждой из этих точек положительна, например:

$$\varphi'(-7) < 0;$$ $$\varphi'(-6) < 0;$$ $$\varphi'(-5) < 0;$$

Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рис. 88).
Скорость изменения функции равна её производной в данной точке.
В вершинах графика (минимумы и максимумы) производная равна нулю, потому что касательная горизонтальна.

Нужно указать несколько значений аргумента $x$, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$

в) $\varphi'(x) < 0$

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$

Что такое производная функции?

Производная функции $\varphi'(x)$ в точке $x$ показывает, насколько быстро и в каком направлении изменяется функция в этой точке.

• Если график функции возрастает (поднимается вверх слева направо), то:

  $$\varphi'(x) > 0$$

  Это значит, что функция увеличивается — производная положительна.

• Если график убывает (опускается вниз слева направо), то:

  $$\varphi'(x) < 0$$

  Это значит, что функция убывает — производная отрицательна.

• Если график имеет вершину (минимум или максимум) — в этой точке касательная горизонтальна, и:

  $$\varphi'(x) = 0$$

а) $\varphi'(x) > 0$

То есть: указать несколько значений $x$, на которых функция возрастает, а значит производная положительна.

По условию:

Функция возрастает на двух участках:

$$x \in (-8; -4) \cup (0; 3)$$

Это означает, что между -8 и -4, а также между 0 и 3, график поднимается — производная положительна.

Примеры точек:

Выберем по несколько значений $x$ из каждого интервала:

• Из $(-8; -4)$:
  • $x = -7 \Rightarrow \varphi'(-7) > 0$
  • $x = -6 \Rightarrow \varphi'(-6) > 0$
  • $x = -5 \Rightarrow \varphi'(-5) > 0$
• Из $(0; 3)$:
  • $x = 1 \Rightarrow \varphi'(1) > 0$
  • $x = 2 \Rightarrow \varphi'(2) > 0$

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$

То есть: указать точки с положительным $x$, где функция убывает.

По условию:

Функция убывает при $x > 0$ на интервале:

$$x \in (3; 5)$$

Примеры точек:

• $x = 3.5 \Rightarrow \varphi'(3{,}5) < 0$
• $x = 4 \Rightarrow \varphi'(4) < 0$
• $x = 4.8 \Rightarrow \varphi'(4{,}8) < 0$

Во всех этих точках график опускается — производная отрицательна, и $x > 0$.

в) $\varphi'(x) < 0$

То есть: указать любые значения $x$, где функция убывает (и неважно, положительный или отрицательный $x$).

По условию:

Функция убывает на следующих интервалах:

$$x \in (-10; -8) \cup (-4; 0) \cup (3; 5)$$

Примеры точек:

• Из $(-10; -8)$:
  • $x = -9 \Rightarrow \varphi'(-9) < 0$
• Из $(-4; 0)$:
  • $x = -3 \Rightarrow \varphi'(-3) < 0$
  • $x = -2 \Rightarrow \varphi'(-2) < 0$
  • $x = -1 \Rightarrow \varphi'(-1) < 0$
• Из $(3; 5)$:
  • $x = 4 \Rightarrow \varphi'(4) < 0$

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$

То есть: указать точки с отрицательным $x$, где график возрастает.

По условию:

Функция возрастает при $x < 0$ на участке:

$$x \in (-8; -4)$$

Примеры точек:

• $x = -7 \Rightarrow \varphi'(-7) > 0$
• $x = -6 \Rightarrow \varphi'(-6) > 0$
• $x = -5 \Rightarrow \varphi'(-5) > 0$