ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 40.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х:

а) $y = x^2 + 2x$

б) $y = \frac{1}{x}$

в) $y = 3x^2 — 4x$

г) $y = \frac{4}{x}$

а) $y = x^2 + 2x$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 2(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x;$

$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2+2x+2\mathrm{\Delta }x-x^2-2x=$

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x — x^2 — 2x = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x;$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 2;$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 2) = 2x + 0 + 2 = 2x + 2;$

Ответ: $y’ = 2x + 2.$

б) $y = \frac{1}{x}$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x};$

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x^2 + x\Delta x};$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x^2 + x\Delta x} : \Delta x = -\frac{1}{x^2 + x\Delta x};$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x^2 + x\Delta x} \right) = -\frac{1}{x^2 + x \cdot 0} = -\frac{1}{x^2};$

Ответ: $y’ = -\frac{1}{x^2}.$

в) $y = 3x^2 — 4x$:

$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 — 4(x + \Delta x) = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4x — 4\Delta x;$

$\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=3x^2+6x\mathrm{\Delta }x+3(\mathrm{\Delta }x{)}^2-4x-4\mathrm{\Delta }x-3x^2+4x=$

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4x — 4\Delta x — 3x^2 + 4x = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4\Delta x;$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4\Delta x}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x — 4;$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (6x + 3\Delta x — 4) = 6x + 3 \cdot 0 — 4 = 6x — 4;$

Ответ: $y’ = 6x — 4.$

г) $y = \frac{4}{x}$:

$f(x + \Delta x) = \frac{4}{x + \Delta x};$

$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{4}{x + \Delta x} — \frac{4}{x} = \frac{4x — 4x — 4\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-4\Delta x}{x^2 + x\Delta x};$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-4\Delta x}{x^2 + x\Delta x} : \Delta x = -\frac{4}{x^2 + x\Delta x};$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{4}{x^2 + x\Delta x} \right) = -\frac{4}{x^2 + x \cdot 0} = -\frac{4}{x^2};$

Ответ: $y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{4}{x^2}\mathrm{.}$

а) $y = x^2 + 2x$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

Подставим $x + \Delta x$ в выражение $y = x^2 + 2x$:

$$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 2(x + \Delta x)$$

Теперь распишем каждую часть:

1. $(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$ — формула квадрата суммы
2. $2(x + \Delta x) = 2x + 2\Delta x$

Теперь сложим:

$$f(x + \Delta x) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x$$

Шаг 2: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)$

$$f(x) = x^2 + 2x$$

Вычтем:

$$\Delta y = \left(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2x + 2\Delta x\right) — \left(x^2 + 2x\right)$$

Уберём скобки и сократим одинаковые члены:

• $+x^2$ и $-x^2$ сокращаются
• $+2x$ и $-2x$ сокращаются

Остаётся:

$$\Delta y = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x}{\Delta x}$$

Разделим каждое слагаемое числителя отдельно:

• $\frac{2x\Delta x}{\Delta x} = 2x$
• $\frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x$
• $\frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2$

Значит:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 2$$

Шаг 4: Предел

Предел при $\Delta x \to 0$:

$$\lim_{\Delta x \to 0}(2x + \Delta x + 2) = 2x + 0 + 2 = 2x + 2$$

Ответ: $y’ = 2x + 2$

б) $y = \frac{1}{x}$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

$$f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x}$$

Шаг 2: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)$

$$\Delta y = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}$$

Приводим к общему знаменателю:

Общий знаменатель: $x(x + \Delta x)$

$$\Delta y = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)} : \Delta x = \left(\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}\right) \cdot \frac{1}{\Delta x}$$

Сократим $\Delta x$:

$$= -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 4: Предел

$$\lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x(x + \Delta x)} \right) = -\frac{1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$$

Ответ: $y’ = -\frac{1}{x^2}$

в) $y = 3x^2 — 4x$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

$$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x)^2 — 4(x + \Delta x)$$

1. $(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$
2. $3(x + \Delta x)^2 = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2$
3. $-4(x + \Delta x) = -4x — 4\Delta x$

Сложим:

$$f(x + \Delta x) = 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4x — 4\Delta x$$

Шаг 2: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)$

$$f(x) = 3x^2 — 4x$$

Вычитаем:

$$\Delta y = \left(3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4x — 4\Delta x\right) — (3x^2 — 4x)$$

Сократим:

• $+3x^2$ и $-3x^2$
• $-4x$ и $+4x$

Остаётся:

$$\Delta y = 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4\Delta x$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 — 4\Delta x}{\Delta x}$$

Разделим:

• $\frac{6x\Delta x}{\Delta x} = 6x$
• $\frac{3(\Delta x)^2}{\Delta x} = 3\Delta x$
• $\frac{-4\Delta x}{\Delta x} = -4$

$$= 6x + 3\Delta x — 4$$

Шаг 4: Предел

$$\lim_{\Delta x \to 0}(6x + 3\Delta x — 4) = 6x + 0 — 4 = 6x — 4$$

Ответ: $y’ = 6x — 4$

г) $y = \frac{4}{x}$

Шаг 1: $f(x + \Delta x)$

$$f(x + \Delta x) = \frac{4}{x + \Delta x}$$

Шаг 2: $\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)$

$$\Delta y = \frac{4}{x + \Delta x} — \frac{4}{x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$= \frac{4x — 4(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{4x — 4x — 4\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-4\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 3: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-4\Delta x}{x(x + \Delta x)} : \Delta x = -\frac{4}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 4: Предел

$$\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{4}{x(x + \Delta x)}\right) = -\frac{4}{x \cdot x} = -\frac{4}{x^2}$$

Ответ: $y’ = -\frac{4}{x^2}$