ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \frac{1}{3} \sin x — 3 \operatorname{ctg} x$;

б) $y = 2 \operatorname{tg} x + \sqrt{3} \cos x$;

в) $y = \frac{\cos x}{5} + 1,4 \operatorname{ctg} x$;

г) $y = 6 \operatorname{tg} x — \sin x$

а) $y = \frac{1}{3} \sin x — 3 \operatorname{ctg} x$;

$y’ = \frac{1}{3} (\sin x)’ — 3 (\operatorname{ctg} x)’ = \frac{1}{3} \cos x — 3 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \frac{1}{3} \cos x + \frac{3}{\sin^2 x};$

б) $y = 2 \operatorname{tg} x + \sqrt{3} \cos x$;

$y’ = 2 (\operatorname{tg} x)’ + \sqrt{3} (\cos x)’ = \frac{2}{\cos^2 x} — \sqrt{3} \sin x;$

в) $y = \frac{\cos x}{5} + 1,4 \operatorname{ctg} x$;

$y’ = \frac{1}{5} (\cos x)’ + 1,4 (\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{\sin x}{5} — \frac{1,4}{\sin^2 x};$

г) $y = 6 \operatorname{tg} x — \sin x$;

$y’ = 6 (\operatorname{tg} x)’ — (\sin x)’ = \frac{6}{\cos^2 x} — \cos x$

Вспомним производные нужных функций:

• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
• $\frac{d}{dx}(\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $\frac{d}{dx}(\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
• Производная постоянного умножителя:
  $\frac{d}{dx}(a \cdot f(x)) = a \cdot f'(x)$
• Производная суммы/разности:
  $(f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)$

а) $y = \frac{1}{3} \sin x — 3 \operatorname{ctg} x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \frac{1}{3} \sin x — 3 \operatorname{ctg} x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = \frac{1}{3} (\sin x)’ — 3 (\operatorname{ctg} x)’$$

Шаг 3. Используем формулы:

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 4. Подставим:

$$y’ = \frac{1}{3} \cos x — 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$

Шаг 5. Упростим:

$$y’ = \frac{1}{3} \cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{1}{3} \cos x + \frac{3}{\sin^2 x}$$

б) $y = 2 \operatorname{tg} x + \sqrt{3} \cos x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 2 \operatorname{tg} x + \sqrt{3} \cos x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = 2 (\operatorname{tg} x)’ + \sqrt{3} (\cos x)’$$

Шаг 3. Используем формулы:

• $(\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $(\cos x)’ = -\sin x$

Шаг 4. Подставим:

$$y’ = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + \sqrt{3} \cdot (-\sin x)$$

Шаг 5. Упростим:

$$y’ = \frac{2}{\cos^2 x} — \sqrt{3} \sin x$$

Ответ:

$$y’ = \frac{2}{\cos^2 x} — \sqrt{3} \sin x$$

в) $y = \frac{\cos x}{5} + 1{,}4 \operatorname{ctg} x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = \frac{1}{5} \cos x + 1{,}4 \operatorname{ctg} x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = \frac{1}{5} (\cos x)’ + 1{,}4 (\operatorname{ctg} x)’$$

Шаг 3. Используем формулы:

• $(\cos x)’ = -\sin x$
• $(\operatorname{ctg} x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 4. Подставим:

$$y’ = \frac{1}{5} \cdot (-\sin x) + 1{,}4 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right)$$

Шаг 5. Упростим:

$$y’ = -\frac{\sin x}{5} — \frac{1{,}4}{\sin^2 x}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{\sin x}{5} — \frac{1{,}4}{\sin^2 x}$$

г) $y = 6 \operatorname{tg} x — \sin x$

Шаг 1. Дана функция:

$$y = 6 \operatorname{tg} x — \sin x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = 6 (\operatorname{tg} x)’ — (\sin x)’$$

Шаг 3. Подставим производные:

• $(\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $(\sin x)’ = \cos x$

Шаг 4. Вычислим:

$$y’ = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} — \cos x$$

Ответ:

$$y’ = \frac{6}{\cos^2 x} — \cos x$$