ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=(x^2-1)(x^4+2)$

б) $y=(x^2+3)(x^6-1)$

в) $y=(x^2+3)(x^4-1)$

г) $y=(x^2-2)(x^7+4)$

а) $y = (x^2 — 1)(x^4 + 2) = x^6 + 2x^2 — x^4 — 2$;
$y’ = (x^6)’ + 2(x^2)’ — (x^4)’ — (2)’$;
$y’ = 6x^5 + 2 \cdot 2x — 4x^3 — 0 = 6x^5 + 4x — 4x^3$;

б) $y = (x^2 + 3)(x^6 — 1) = x^8 — x^2 + 3x^6 — 3$;
$y’ = (x^8)’ — (x^2)’ + 3(x^6)’ — (3)’$;
$y’ = 8x^7 — 2x + 3 \cdot 6x^5 — 0 = 8x^7 — 2x + 18x^5$;

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 — 1) = x^6 — x^2 + 3x^4 — 3$;
$y’ = (x^6)’ — (x^2)’ + 3(x^4)’ — (3)’$;
$y’ = 6x^5 — 2x + 3 \cdot 4x^3 — 0 = 6x^5 — 2x + 12x^3$;

г) $y = (x^2 — 2)(x^7 + 4) = x^9 + 4x^2 — 2x^7 — 8$;
$y’ = (x^9)’ + 4(x^2)’ — 2(x^7)’ — (8)’$;
$y’ = 9x^8 + 4 \cdot 2x — 2 \cdot 7x^6 — 0 = 9x^8 + 8x — 14x^6$

Производная степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Производная суммы и разности:

$$(f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)$$

Производная произведения через предварительное раскрытие скобок.

а) $y = (x^2 — 1)(x^4 + 2)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = x^2 \cdot x^4 + x^2 \cdot 2 — 1 \cdot x^4 — 1 \cdot 2 = x^6 + 2x^2 — x^4 — 2$$

Шаг 2: Найдём производную каждого слагаемого

$$y’ = (x^6)’ + 2(x^2)’ — (x^4)’ — (2)’$$

$(x^6)’ = 6x^5$

$2(x^2)’ = 2 \cdot 2x = 4x$

$(x^4)’ = 4x^3$

$(2)’ = 0$

Шаг 3: Складываем

$$y’ = 6x^5 + 4x — 4x^3$$

Ответ:

$$y’ = 6x^5 + 4x — 4x^3$$

б) $y = (x^2 + 3)(x^6 — 1)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = x^2 \cdot x^6 — x^2 + 3 \cdot x^6 — 3 = x^8 — x^2 + 3x^6 — 3$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y’ = (x^8)’ — (x^2)’ + 3(x^6)’ — (3)’$$

$(x^8)’ = 8x^7$

$(x^2)’ = 2x$

$3(x^6)’ = 3 \cdot 6x^5 = 18x^5$

$(3)’ = 0$

Шаг 3: Складываем

$$y’ = 8x^7 — 2x + 18x^5$$

Ответ:

$$y’ = 8x^7 — 2x + 18x^5$$

в) $y = (x^2 + 3)(x^4 — 1)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = x^2 \cdot x^4 — x^2 + 3x^4 — 3 = x^6 — x^2 + 3x^4 — 3$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y’ = (x^6)’ — (x^2)’ + 3(x^4)’ — (3)’$$

$(x^6)’ = 6x^5$

$(x^2)’ = 2x$

$3(x^4)’ = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$

$(3)’ = 0$

Шаг 3: Складываем

$$y’ = 6x^5 — 2x + 12x^3$$

Ответ:

$$y’ = 6x^5 — 2x + 12x^3$$

г) $y = (x^2 — 2)(x^7 + 4)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = x^2 \cdot x^7 + x^2 \cdot 4 — 2 \cdot x^7 — 2 \cdot 4 = x^9 + 4x^2 — 2x^7 — 8$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y’ = (x^9)’ + 4(x^2)’ — 2(x^7)’ — (8)’$$

$(x^9)’ = 9x^8$

$4(x^2)’ = 4 \cdot 2x = 8x$

$2(x^7)’ = 2 \cdot 7x^6 = 14x^6$

$(8)’ = 0$

Шаг 3: Складываем

$$y’ = 9x^8 + 8x — 14x^6$$

Ответ:

$$y’ = 9x^8 + 8x — 14x^6$$