ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = x \cdot \sin x$;

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$;

в) $y = x \cdot \cos x$;

г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$

а) $y = x \cdot \sin x$;
$y’ = (x)’ \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)’ = \sin x + x \cos x$;

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$;
$y’ = (\sqrt{x})’ \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (\cos x)’ = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} — \sqrt{x} \sin x$;

в) $y = x \cdot \cos x$;
$y’ = (x)’ \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)’ = \cos x — x \sin x$;

г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$;
$y’ = (\sqrt{x})’ \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot (\sin x)’ = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$

а) $y = x \cdot \sin x$

Это произведение двух функций:

• первая функция: $u(x) = x$
• вторая функция: $v(x) = \sin x$

По правилу производной произведения:

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 1: Найдём производную от $u(x) = x$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$$

Шаг 2: Найдём производную от $v(x) = \sin x$:

$$v'(x) = \frac{d}{dx} \sin x = \cos x$$

Шаг 3: Подставим всё в формулу:

$$y’ = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$$

б) $y = \sqrt{x} \cdot \cos x$

Запишем в виде произведения функций:

• $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $v(x) = \cos x$

Применим правило произведения:

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 1: Производная $u(x) = x^{1/2}$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Производная $v(x) = \cos x$:

$$v'(x) = \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$$

Шаг 3: Подставим:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x)$$ $$y’ = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} — \sqrt{x} \sin x$$

в) $y = x \cdot \cos x$

Снова произведение функций:

• $u(x) = x$
• $v(x) = \cos x$

Применяем:

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 1:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$$

Шаг 2:

$$v'(x) = \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$$

Шаг 3:

$$y’ = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x — x \sin x$$

г) $y = \sqrt{x} \cdot \sin x$

Представим:

• $u(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$
• $v(x) = \sin x$

Применим правило:

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Шаг 1:

$$u'(x) = \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2:

$$v'(x) = \frac{d}{dx} \sin x = \cos x$$

Шаг 3:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x$$ $$y’ = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x$$