ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=(\frac{1}{x}+1)(2x-3)$

б) $y=(7-\frac{1}{x})(6x+1)$

в) $y=(\frac{1}{x}+8)(5x-2)$

г) $y=(9-\frac{4}{x})(3x+2)$

а) $y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right)(2x — 3) = 2 — \frac{3}{x} + 2x — 3 = 2x — \frac{3}{x} — 1$;
$y’ = (2x)’ — 3\left( \frac{1}{x} \right)’ — (1)’ = 2 — 3 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) — 0 = 2 + \frac{3}{x^2}$;

б) $y = \left( 7 — \frac{1}{x} \right)(6x + 1) = 42x + 7 — 6 — \frac{1}{x} = 42x — \frac{1}{x} + 1$;
$y’ = (42x)’ — \left( \frac{1}{x} \right)’ + (1)’ = 42 — \left( -\frac{1}{x^2} \right) + 0 = 42 + \frac{1}{x^2}$;

в) $y = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)(5x — 2) = 5 — \frac{2}{x} + 40x — 16 = 40x — \frac{2}{x} — 11$;
$y’ = (40x)’ — 2\left( \frac{1}{x} \right)’ — (11)’ = 40 — 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) — 0 = 40 + \frac{2}{x^2}$;

г) $y = \left( 9 — \frac{4}{x} \right)(3x + 2) = 27x + 18 — 3 — \frac{2}{x} = 27x — \frac{2}{x} + 15$;
$y’ = (27x)’ — 2\left( \frac{1}{x} \right)’ + (15)’ = 27 — 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) + 0 = 27 + \frac{2}{x^2}$

а) $y = \left( \frac{1}{x} + 1 \right)(2x — 3)$

Шаг 1: Раскроем скобки (умножим выражения)

Применим распределительное свойство:

$$y = \frac{1}{x} \cdot (2x — 3) + 1 \cdot (2x — 3)$$

Сначала умножим $\frac{1}{x}$ на каждый член скобок:

$$\frac{1}{x} \cdot 2x = 2, \quad \frac{1}{x} \cdot (-3) = -\frac{3}{x}$$

Теперь умножим 1 на каждый член:

$$1 \cdot 2x = 2x, \quad 1 \cdot (-3) = -3$$

Собираем всё:

$$y = 2 — \frac{3}{x} + 2x — 3 = 2x — \frac{3}{x} — 1$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y = 2x — \frac{3}{x} — 1$$

Рассмотрим по членам:

• Производная от $2x$:

$$(2x)’ = 2$$

• Производная от $-\frac{3}{x} = -3x^{-1}$:

$$\left( -3x^{-1} \right)’ = -3 \cdot (-1) x^{-2} = \frac{3}{x^2}$$

• Производная от $-1$ (константа):

$$(-1)’ = 0$$

Соберём:

$$y’ = 2 + \frac{3}{x^2}$$

б) $y = \left( 7 — \frac{1}{x} \right)(6x + 1)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = 7(6x + 1) — \frac{1}{x}(6x + 1)$$

Вычислим каждое:

• $7 \cdot 6x = 42x$,
• $7 \cdot 1 = 7$
• $\frac{1}{x} \cdot 6x = 6$,
• $\frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$

Итого:

$$y = 42x + 7 — 6 — \frac{1}{x} = 42x — \frac{1}{x} + 1$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y = 42x — \frac{1}{x} + 1$$

• $(42x)’ = 42$
• $\left( -\frac{1}{x} \right)’ = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$
• $(1)’ = 0$

Ответ:

$$y’ = 42 + \frac{1}{x^2}$$

в) $y = \left( \frac{1}{x} + 8 \right)(5x — 2)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = \frac{1}{x}(5x — 2) + 8(5x — 2)$$

Сначала:

• $\frac{1}{x} \cdot 5x = 5$,
• $\frac{1}{x} \cdot (-2) = -\frac{2}{x}$

Затем:

• $8 \cdot 5x = 40x$,
• $8 \cdot (-2) = -16$

Итого:

$$y = 5 — \frac{2}{x} + 40x — 16 = 40x — \frac{2}{x} — 11$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y = 40x — \frac{2}{x} — 11$$

• $(40x)’ = 40$
• $\left( -\frac{2}{x} \right)’ = -(-2)x^{-2} = \frac{2}{x^2}$
• $(-11)’ = 0$

Ответ:

$$y’ = 40 + \frac{2}{x^2}$$

г) $y = \left( 9 — \frac{4}{x} \right)(3x + 2)$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$y = 9(3x + 2) — \frac{4}{x}(3x + 2)$$

Перемножим:

• $9 \cdot 3x = 27x$,
• $9 \cdot 2 = 18$
• $\frac{4}{x} \cdot 3x = 12$,
• $\frac{4}{x} \cdot 2 = \frac{8}{x}$

Итого:

$$y = 27x + 18 — 12 — \frac{8}{x} = 27x — \frac{8}{x} + 6$$

$$y = 27x — \frac{2}{x} + 15$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y = 27x — \frac{2}{x} + 15$$

• $(27x)’ = 27$
• $\left( -\frac{2}{x} \right)’ = \frac{2}{x^2}$
• $(15)’ = 0$

Ответ:

$$y’ = 27 + \frac{2}{x^2}$$