ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=(x-1)(x^2+x+1)$

б) $y=(x^2+2x+4)(x-2)$

в) $y=(x+1)(x^2-x+1)$

г) $y=(x^2-3x+9)(x+3)$

а) $y = (x-1)(x^2 + x + 1) = x^3 — 1^3 = x^3 — 1$;
$y’ = (x^3)’ — (1)’ = 3x^2 — 0 = 3x^2$;

б) $y = (x^2 + 2x + 4)(x-2) = x^3 — 2^3 = x^3 — 8$;
$y’ = (x^3)’ — (8)’ = 3x^2 — 0 = 3x^2$;

в) $y = (x+1)(x^2 — x + 1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$;
$y’ = (x^3)’ + (1)’ = 3x^2 + 0 = 3x^2$;

г) $y = (x^2 — 3x + 9)(x+3) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$;
$y’ = (x^3)’ + (27)’ = 3x^2 + 0 = 3x^2$

а)

Найти производную функции:

$$y = (x — 1)(x^2 + x + 1)$$

Шаг 1: Раскроем скобки (перемножим многочлены)

Применим распределительное свойство (распределим $x — 1$ на каждый член второго многочлена):

$$(x — 1)(x^2 + x + 1) = x(x^2 + x + 1) — 1(x^2 + x + 1)$$

Вычислим отдельно:

• $x(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x$
• $-1(x^2 + x + 1) = -x^2 — x -1$

Теперь сложим:

$$x^3 + x^2 + x — x^2 — x — 1 = x^3 — 1$$

Итак:

$$y = x^3 — 1$$

Шаг 2: Найдем производную

Применим правило производной для разности функций:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(1)$$

• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}(1) = 0$

Итак:

$$y’ = 3x^2 — 0 = 3x^2$$

б)

Найти производную функции:

$$y = (x^2 + 2x + 4)(x — 2)$$

Шаг 1: Раскроем скобки

Применим распределительное свойство:

$$(x^2 + 2x + 4)(x — 2) = (x^2)(x — 2) + (2x)(x — 2) + (4)(x — 2)$$

Вычислим поэтапно:

• $x^2(x — 2) = x^3 — 2x^2$
• $2x(x — 2) = 2x^2 — 4x$
• $4(x — 2) = 4x — 8$

Теперь сложим:

$$x^3 — 2x^2 + 2x^2 — 4x + 4x — 8 = x^3 — 8$$

Итак:

$$y = x^3 — 8$$

Шаг 2: Найдем производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(8)$$

• $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}(8) = 0$

$$y’ = 3x^2$$

в)

Найти производную функции:

$$y = (x + 1)(x^2 — x + 1)$$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$(x + 1)(x^2 — x + 1) = x(x^2 — x + 1) + 1(x^2 — x + 1)$$

• $x(x^2 — x + 1) = x^3 — x^2 + x$
• $1(x^2 — x + 1) = x^2 — x + 1$

Теперь сложим:

$$x^3 — x^2 + x + x^2 — x + 1 = x^3 + 1$$

Итак:

$$y = x^3 + 1$$

Шаг 2: Найдем производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(1) = 3x^2 + 0 = 3x^2$$

г)

Найти производную функции:

$$y = (x^2 — 3x + 9)(x + 3)$$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$(x^2 — 3x + 9)(x + 3) = x^2(x + 3) — 3x(x + 3) + 9(x + 3)$$

• $x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2$
• $-3x(x + 3) = -3x^2 — 9x$
• $9(x + 3) = 9x + 27$

Сложим:

$$x^3 + 3x^2 — 3x^2 — 9x + 9x + 27 = x^3 + 27$$

Итак:

$$y = x^3 + 27$$

Шаг 2: Найдем производную

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(27) = 3x^2 + 0 = 3x^2$$

Ответы:

а) $y’ = 3x^2$
б) $y’ = 3x^2$
в) $y’ = 3x^2$
г) $y’ = 3x^2$