ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$;

б) $y = \frac{x^2}{x^2 — 1}$;

в) $y = \frac{x^2}{3 — 4x}$;

г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$;

$$y’ = \frac{(x^3)'(2x + 4) — x^3(2x + 4)’}{(2x + 4)^2} = \frac{3x^2(2x + 4) — 2x^3}{4x^2 + 16x + 16} =$$ $$= \frac{6x^3 + 12x^2 — 2x^3}{4(x^2 + 4x + 4)} = \frac{4x^3 + 12x^2}{4(x + 2)^2} = \frac{4x^2(x + 3)}{4(x + 2)^2} = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2};$$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 — 1}$;

$$y’ = \frac{(x^2)'(x^2 — 1) — x^2(x^2 — 1)’}{(x^2 — 1)^2} = \frac{2x(x^2 — 1) — x^2 \cdot (2x — 0)}{(x^2 — 1)^2} =$$ $$= \frac{2x^3 — 2x — 2x^3}{(x^2 — 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 — 1)^2};$$

в) $y = \frac{x^2}{3 — 4x}$;

$$y’ = \frac{(x^2)'(3 — 4x) — x^2(3 — 4x)’}{(3 — 4x)^2} = \frac{2x(3 — 4x) — x^2 \cdot (0 — 4)}{(3 — 4x)^2} =$$ $$= \frac{6x — 8x^2 + 4x^2}{(3 — 4x)^2} = \frac{6x — 4x^2}{(3 — 4x)^2} = \frac{2x(3 — 2x)}{(3 — 4x)^2};$$

г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$;

$$y’ = \frac{(x)'(x^2 + 1) — x(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 — x(2x + 0)}{(x^2 + 1)^2} =$$ $$= \frac{x^2 + 1 — 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

Правило производной дроби:

$$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$

а)

Найти производную функции:

$$y = \frac{x^3}{2x + 4}$$

1. Обозначим:

• $u(x) = x^3 \Rightarrow u'(x) = 3x^2$
• $v(x) = 2x + 4 \Rightarrow v'(x) = 2$

2. Применим правило производной дроби:

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2} = \frac{3x^2(2x + 4) — x^3 \cdot 2}{(2x + 4)^2}$$

3. Раскроем скобки в числителе:

• $3x^2(2x + 4) = 6x^3 + 12x^2$
• $x^3 \cdot 2 = 2x^3$

$$\text{Числитель: } 6x^3 + 12x^2 — 2x^3 = 4x^3 + 12x^2$$

4. Знаменатель:

$$(2x + 4)^2 = 4(x + 2)^2$$

5. Сократим дробь:

$$y’ = \frac{4x^3 + 12x^2}{4(x + 2)^2} = \frac{4x^2(x + 3)}{4(x + 2)^2}$$

6. Упростим:

$$y’ = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2}$$

б)

Найти производную функции:

$$y = \frac{x^2}{x^2 — 1}$$

1. Обозначим:

• $u = x^2 \Rightarrow u’ = 2x$
• $v = x^2 — 1 \Rightarrow v’ = 2x$

2. Применим правило:

$$y’ = \frac{2x(x^2 — 1) — x^2(2x)}{(x^2 — 1)^2}$$

3. Раскроем числитель:

• $2x(x^2 — 1) = 2x^3 — 2x$
• $x^2 \cdot 2x = 2x^3$

$$2x^3 — 2x — 2x^3 = -2x$$

4. Запишем окончательно:

$$y’ = \frac{-2x}{(x^2 — 1)^2}$$

в)

Найти производную функции:

$$y = \frac{x^2}{3 — 4x}$$

1. Обозначим:

• $u = x^2 \Rightarrow u’ = 2x$
• $v = 3 — 4x \Rightarrow v’ = -4$

2. Применим правило:

$$y’ = \frac{2x(3 — 4x) — x^2(-4)}{(3 — 4x)^2}$$

3. Раскроем числитель:

• $2x(3 — 4x) = 6x — 8x^2$
• $-x^2(-4) = +4x^2$

$$6x — 8x^2 + 4x^2 = 6x — 4x^2$$

4. Ответ:

$$y’ = \frac{6x — 4x^2}{(3 — 4x)^2} = \frac{2x(3 — 2x)}{(3 — 4x)^2}$$

г)

Найти производную функции:

$$y = \frac{x}{x^2 + 1}$$

1. Обозначим:

• $u = x \Rightarrow u’ = 1$
• $v = x^2 + 1 \Rightarrow v’ = 2x$

2. Применим правило:

$$y’ = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

3. Раскроем числитель:

• $1 \cdot (x^2 + 1) = x^2 + 1$
• $x \cdot 2x = 2x^2$

$$x^2 + 1 — 2x^2 = 1 — x^2$$

4. Ответ:

$$y’ = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

Ответы:

а) $y’ = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2}$
б) $y’ = -\frac{2x}{(x^2 — 1)^2}$
в) $y’ = \frac{2x(3 — 2x)}{(3 — 4x)^2}$
г) $y’ = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}$