ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$;

б) $y = \frac{\sin x}{x}$;

в) $y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 — 3x}$;

г) $y = \frac{\cos x}{x}$

а) $y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$;

$$y’ = \frac{(3\sqrt{x})'(2x + 9) — 3\sqrt{x}(2x + 9)’}{(2x + 9)^2} = \frac{\frac{3(2x + 9)}{2\sqrt{x}} — 3\sqrt{x} \cdot (2 + 0)}{(2x + 9)^2} =$$ $$= \frac{\frac{6x + 27}{2\sqrt{x}} — \frac{6\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(2x + 9)^2} = \frac{\frac{6x + 27 — 12x}{2\sqrt{x}}}{(2x + 9)^2} = \frac{27 — 6x}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2} = \frac{3(9 — 2x)}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2};$$

б) $y = \frac{\sin x}{x}$;

$$y’ = \frac{(\sin x)’ \cdot x — \sin x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{x \cos x — \sin x}{x^2};$$

в) $y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 — 3x}$;

$$y’ = \frac{(-2\sqrt{x})'(8 — 3x) + 2\sqrt{x}(8 — 3x)’}{(8 — 3x)^2} = \frac{\frac{-2(8 — 3x)}{2\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}(0 — 3)}{(8 — 3x)^2} =$$ $$= \frac{\frac{-8 + 3x}{\sqrt{x}} — \frac{6\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{(8 — 3x)^2} = \frac{\frac{-8 + 3x — 6x}{\sqrt{x}}}{(8 — 3x)^2} = \frac{-8 — 3x}{\sqrt{x}(8 — 3x)^2} = -\frac{8 + 3x}{\sqrt{x}(8 — 3x)^2};$$

г) $y = \frac{\cos x}{x}$;

$$y’ = \frac{(\cos x)’ \cdot x — \cos x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{-\sin x \cdot x — \cos x}{x^2} = \frac{-x \sin x + \cos x}{x^2}.$$

Правило производной дроби:

$$\left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

а)

$$y = \frac{3\sqrt{x}}{2x + 9}$$

Шаг 1: Заменим корень

$$\sqrt{x} = x^{1/2} \quad \Rightarrow \quad 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$$

Шаг 2: Обозначим

• $u(x) = 3x^{1/2} \Rightarrow u'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}}$
• $v(x) = 2x + 9 \Rightarrow v'(x) = 2$

Шаг 3: Применим формулу

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2} = \frac{\frac{3}{2\sqrt{x}}(2x + 9) — 3\sqrt{x} \cdot 2}{(2x + 9)^2}$$

Шаг 4: Раскрываем скобки

Числитель:

• $\frac{3(2x + 9)}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 27}{2\sqrt{x}}$
• $3\sqrt{x} \cdot 2 = 6\sqrt{x}$

Теперь приведём к общему знаменателю:

$$6\sqrt{x} = \frac{6\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{12x}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 5: Объединяем в числителе

$$\frac{6x + 27 — 12x}{2\sqrt{x}} = \frac{-6x + 27}{2\sqrt{x}} = \frac{3(9 — 2x)}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 6: Финальный ответ

$$y’ = \frac{3(9 — 2x)}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2}$$

б)

$$y = \frac{\sin x}{x}$$

Шаг 1: Обозначим

• $u(x) = \sin x \Rightarrow u'(x) = \cos x$
• $v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1$

Шаг 2: Применим правило

$$y’ = \frac{x \cdot \cos x — \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x — \sin x}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{x \cos x — \sin x}{x^2}$$

в)

$$y = \frac{-2\sqrt{x}}{8 — 3x}$$

Шаг 1: Заменим корень

$$\sqrt{x} = x^{1/2} \quad \Rightarrow \quad -2\sqrt{x} = -2x^{1/2}$$

Шаг 2: Обозначим

• $u(x) = -2x^{1/2} \Rightarrow u'(x) = \frac{-2}{2\sqrt{x}} = \frac{-1}{\sqrt{x}}$
• $v(x) = 8 — 3x \Rightarrow v'(x) = -3$

Шаг 3: Применим правило

$$y’ = \frac{u’v — uv’}{v^2} = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x}}(8 — 3x) — (-2\sqrt{x})(-3)}{(8 — 3x)^2}$$

Шаг 4: Раскроем числитель

• $\frac{-1}{\sqrt{x}}(8 — 3x) = \frac{-8 + 3x}{\sqrt{x}}$
• $-2\sqrt{x} \cdot (-3) = 6\sqrt{x}$

Приведём $6\sqrt{x}$ к общему знаменателю:

$$6\sqrt{x} = \frac{6x}{\sqrt{x}}$$

Теперь:

$$\frac{-8 + 3x}{\sqrt{x}} — \frac{6x}{\sqrt{x}} = \frac{-8 + 3x — 6x}{\sqrt{x}} = \frac{-8 — 3x}{\sqrt{x}}$$

Шаг 5: Ответ

$$y’ = \frac{-8 — 3x}{\sqrt{x}(8 — 3x)^2} = -\frac{8 + 3x}{\sqrt{x}(8 — 3x)^2}$$

г)

$$y = \frac{\cos x}{x}$$

Шаг 1: Обозначим

• $u(x) = \cos x \Rightarrow u'(x) = -\sin x$
• $v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1$

Шаг 2: Применим правило

$$y’ = \frac{(-\sin x)(x) — \cos x \cdot 1}{x^2} = \frac{-x \sin x — \cos x}{x^2}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{-x \sin x — \cos x}{x^2} \quad \text{или} \quad y’ = \frac{-x \sin x + (-\cos x)}{x^2}$$

Итоговые ответы:

а) $y’ = \dfrac{3(9 — 2x)}{2\sqrt{x}(2x + 9)^2}$
б) $y’ = \dfrac{x \cos x — \sin x}{x^2}$
в) $y’ = -\dfrac{8 + 3x}{\sqrt{x}(8 — 3x)^2}$
г) $y’ = \dfrac{-x \sin x — \cos x}{x^2}$