ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=\frac{x^9-3}{x^3}$;

б) $y=\frac{x^{15}}{x^{10}+1}$;

в) $y=\frac{x^5+x}{x^5-1}$;

г) $y=\frac{x^{13}}{x^4-2}$

а) $y = \frac{x^9 — 3}{x^3}$;

$$y’ = \frac{(x^9 — 3)’ \cdot x^3 — (x^9 — 3) \cdot (x^3)’}{(x^3)^2} = \frac{(9x^8 — 0) \cdot x^3 — (x^9 — 3) \cdot 3x^2}{x^6} =$$ $$= \frac{9x^8 \cdot x — (x^9 — 3) \cdot 3}{x^4} = \frac{9x^9 — 3x^9 + 9}{x^4} = \frac{6x^9 + 9}{x^4};$$

б) $y = \frac{x^{15}}{x^{10} + 1}$;

$$y’ = \frac{(x^{15})’ \cdot (x^{10} + 1) — x^{15} \cdot (x^{10} + 1)’}{(x^{10} + 1)^2} = \frac{15x^{14} \cdot (x^{10} + 1) — x^{15} \cdot 10x^9}{(x^{10} + 1)^2} =$$ $$= \frac{15x^{24} + 15x^{14} — 10x^{24}}{(x^{10} + 1)^2} = \frac{5x^{24} + 15x^{14}}{(x^{10} + 1)^2} = \frac{5x^{14} \cdot (x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2};$$

в) $y = \frac{x^5 + x}{x^5 — 1}$;

$$y’ = \frac{(x^5 + x)’ \cdot (x^5 — 1) — (x^5 + x) \cdot (x^5 — 1)’}{(x^5 — 1)^2} =$$ $$= \frac{(5x^4 + 1)(x^5 — 1) — (x^5 + x) \cdot 5x^4}{(x^5 — 1)^2} = \frac{5x^9 — 5x^4 + x^5 — 1 — 5x^9 — 5x^5}{(x^5 — 1)^2} =$$ $$= \frac{-4x^5 — 5x^4 — 1}{(x^5 — 1)^2} = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 — 1)^2};$$

г) $y = \frac{x^{13}}{x^4 — 2}$;

$$y’ = \frac{(x^{13})’ \cdot (x^4 — 2) — x^{13} \cdot (x^4 — 2)’}{(x^4 — 2)^2} = \frac{13x^{12}(x^4 — 2) — x^{13} \cdot (4x^3 — 0)}{(x^4 — 2)^2} =$$ $$= \frac{13x^{16} — 26x^{12} — 4x^{16}}{(x^4 — 2)^2} = \frac{9x^{16} — 26x^{12}}{(x^4 — 2)^2} = \frac{x^{12} \cdot (9x^4 — 26)}{(x^4 — 2)^2};$$

а) $y = \frac{x^9 — 3}{x^3}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования дроби

Для функции вида $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, производная вычисляется по формуле:

$$y’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = x^9 — 3$
• $g(x) = x^3$

Шаг 2: Нахождение производных числителя и знаменателя

• $f'(x) = 9x^8$
• $g'(x) = 3x^2$

Шаг 3: Подставляем в формулу

$$y’ = \frac{(9x^8) \cdot (x^3) — (x^9 — 3) \cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$$

Шаг 4: Упрощение числителя

1. $9x^8 \cdot x^3 = 9x^{11}$
2. $(x^9 — 3) \cdot 3x^2 = 3x^2 \cdot x^9 — 3x^2 \cdot 3 = 3x^{11} — 9x^2$

Теперь подставляем это в числитель:

$$y’ = \frac{9x^{11} — (3x^{11} — 9x^2)}{x^6} = \frac{9x^{11} — 3x^{11} + 9x^2}{x^6} = \frac{6x^{11} + 9x^2}{x^6}$$

Шаг 5: Разделение на множители

$$y’ = \frac{6x^{11}}{x^6} + \frac{9x^2}{x^6} = 6x^{5} + 9x^{-4}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{6x^9 + 9}{x^4}$$

б) $y = \frac{x^{15}}{x^{10} + 1}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования дроби

Для функции $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, производная вычисляется по формуле:

$$y’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = x^{15}$
• $g(x) = x^{10} + 1$

Шаг 2: Нахождение производных числителя и знаменателя

• $f'(x) = 15x^{14}$
• $g'(x) = 10x^9$

Шаг 3: Подставляем в формулу

$$y’ = \frac{(15x^{14}) \cdot (x^{10} + 1) — (x^{15}) \cdot (10x^9)}{(x^{10} + 1)^2}$$

Шаг 4: Упрощение числителя

1. $15x^{14} \cdot (x^{10} + 1) = 15x^{24} + 15x^{14}$
2. $x^{15} \cdot 10x^9 = 10x^{24}$

Теперь подставляем это в числитель:

$$y’ = \frac{15x^{24} + 15x^{14} — 10x^{24}}{(x^{10} + 1)^2} = \frac{5x^{24} + 15x^{14}}{(x^{10} + 1)^2}$$

Шаг 5: Факторизация

$$y’ = \frac{5x^{14} \cdot (x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{5x^{14} \cdot (x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$$

в) $y = \frac{x^5 + x}{x^5 — 1}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования дроби

Для функции $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, производная вычисляется по формуле:

$$y’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = x^5 + x$
• $g(x) = x^5 — 1$

Шаг 2: Нахождение производных числителя и знаменателя

• $f'(x) = 5x^4 + 1$
• $g'(x) = 5x^4$

Шаг 3: Подставляем в формулу

$$y’ = \frac{(5x^4 + 1) \cdot (x^5 — 1) — (x^5 + x) \cdot (5x^4)}{(x^5 — 1)^2}$$

Шаг 4: Упрощение числителя

1. Раскроем скобки:

   $$(5x^4 + 1)(x^5 — 1) = 5x^4(x^5 — 1) + 1(x^5 — 1) = 5x^9 — 5x^4 + x^5 — 1$$

2. Раскроем скобки для второго слагаемого:

   $$(x^5 + x) \cdot 5x^4 = 5x^9 + 5x^5$$

Теперь подставим это в числитель:

$$y’ = \frac{(5x^9 — 5x^4 + x^5 — 1) — (5x^9 + 5x^5)}{(x^5 — 1)^2}$$

Упростим числитель:

$$y’ = \frac{5x^9 — 5x^4 + x^5 — 1 — 5x^9 — 5x^5}{(x^5 — 1)^2} = \frac{-4x^5 — 5x^4 — 1}{(x^5 — 1)^2}$$

Ответ:

$$y’ = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 — 1)^2}$$

г) $y = \frac{x^{13}}{x^4 — 2}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования дроби

Для функции $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, производная вычисляется по формуле:

$$y’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) — f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$

Здесь:

• $f(x) = x^{13}$
• $g(x) = x^4 — 2$

Шаг 2: Нахождение производных числителя и знаменателя

• $f'(x) = 13x^{12}$
• $g'(x) = 4x^3$

Шаг 3: Подставляем в формулу

$$y’ = \frac{(13x^{12})(x^4 — 2) — x^{13}(4x^3)}{(x^4 — 2)^2}$$

Шаг 4: Упрощение числителя

1. $13x^{12} \cdot (x^4 — 2) = 13x^{16} — 26x^{12}$
2. $x^{13} \cdot 4x^3 = 4x^{16}$

Теперь подставим это в числитель:

$$y’ = \frac{13x^{16} — 26x^{12} — 4x^{16}}{(x^4 — 2)^2}$$

Упростим числитель:

$$y’ = \frac{9x^{16} — 26x^{12}}{(x^4 — 2)^2}$$

Шаг 5: Факторизация

$$y’ = \frac{x^{12} \cdot (9x^4 — 26)}{(x^4 — 2)^2}$$

Ответ:

$$y’ = \frac{x^{12} \cdot (9x^4 — 26)}{(x^4 — 2)^2}$$

Итоговые ответы:

а) $y’ = \frac{6x^9 + 9}{x^4}$

б) $y’ = \frac{5x^{14} \cdot (x^{10} + 3)}{(x^{10} + 1)^2}$

в) $y’ = -\frac{4x^5 + 5x^4 + 1}{(x^5 — 1)^2}$

г) $y’ = \frac{x^{12} \cdot (9x^4 — 26)}{(x^4 — 2)^2}$