ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y=\sin 2x\cdot \cos x-\cos 2x\cdot \sin x$

б) $y=\sin \frac{x}{3}\cdot \cos \frac{2x}{3}+\cos \frac{x}{3}\cdot \sin \frac{2x}{3}$

в) $y=\cos 3x\cdot \cos 2x+\sin 3x\cdot \sin 2x$

г) $y=\cos \frac{x}{5}\cdot \cos \frac{4x}{5}-\sin \frac{x}{5}\cdot \sin \frac{4x}{5}$

а) $y = \sin 2x \cdot \cos x — \cos 2x \cdot \sin x = \sin(2x — x) = \sin x$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;

б) $y = \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{2x}{3} + \cos \frac{x}{3} \cdot \sin \frac{2x}{3} = \sin\left(\frac{x}{3} + \frac{2x}{3}\right) = \sin\left(\frac{3x}{3}\right) = \sin x$;
$y’ = (\sin x)’ = \cos x$;

в) $y = \cos 3x \cdot \cos 2x + \sin 3x \cdot \sin 2x = \cos(3x — 2x) = \cos x$;
$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$;

г) $y = \cos \frac{x}{5} \cdot \cos \frac{4x}{5} — \sin \frac{x}{5} \cdot \sin \frac{4x}{5} = \cos\left(\frac{x}{5} + \frac{4x}{5}\right) = \cos\left(\frac{5x}{5}\right) = \cos x$;
$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$

а)

Функция:

$$y = \sin 2x \cdot \cos x — \cos 2x \cdot \sin x$$

Шаг 1: Узнаем формулу тригонометрии.
Выражение имеет вид:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B)$$

Значит:

$$y = \sin(2x — x) = \sin x$$

Шаг 2: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Ответ:

$$y = \sin x,\quad y’ = \cos x$$

б)

Функция:

$$y = \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{2x}{3} + \cos \frac{x}{3} \cdot \sin \frac{2x}{3}$$

Шаг 1: Используем формулу тригонометрии.
Формула:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B)$$

Здесь:

$$A = \frac{x}{3},\quad B = \frac{2x}{3}$$

Подставим:

$$y = \sin\left(\frac{x}{3} + \frac{2x}{3}\right) = \sin\left(\frac{3x}{3}\right) = \sin x$$

Шаг 2: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Ответ:

$$y = \sin x,\quad y’ = \cos x$$

в)

Функция:

$$y = \cos 3x \cdot \cos 2x + \sin 3x \cdot \sin 2x$$

Шаг 1: Узнаем тригонометрическую формулу.
Формула:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A — B)$$

Здесь:

$$A = 3x,\quad B = 2x$$

Значит:

$$y = \cos(3x — 2x) = \cos x$$

Шаг 2: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Ответ:

$$y = \cos x,\quad y’ = -\sin x$$

г)

Функция:

$$y = \cos \frac{x}{5} \cdot \cos \frac{4x}{5} — \sin \frac{x}{5} \cdot \sin \frac{4x}{5}$$

Шаг 1: Используем формулу тригонометрии.
Формула:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos(A + B)$$

Здесь:

$$A = \frac{x}{5},\quad B = \frac{4x}{5}$$

Подставим:

$$y = \cos\left(\frac{x}{5} + \frac{4x}{5}\right) = \cos\left(\frac{5x}{5}\right) = \cos x$$

Шаг 2: Найдём производную.

$$y’ = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Ответ:

$$y = \cos x,\quad y’ = -\sin x$$