ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной заданной функции в точке $x_0$:

а) $y = \sqrt{x}$ и $x_0 = 4$;

б) $y = x^2$ и $x_0 = -7$;

в) $y = -3x — 11$ и $x_0 = -3$;

г) $y = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 0{,}5$

а) $y = \sqrt{x}$ и $x_0 = 4$;
$y’ = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$;

б) $y = x^2$ и $x_0 = -7$;
$y’ = (x^2)’ = 2x$;
$y'(x_0) = 2 \cdot (-7) = -14$;

в) $y = -3x — 11$ и $x_0 = -3$;
$y’ = (-3x + 11)’ = -3$;
$y'(x_0) = -3$;

г) $y = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 0{,}5$;
$y’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
$y'(x_0) = -1 : \left( \frac{1}{2} \right)^2 = -1 : \frac{1}{4} = -4$.

а) $y = \sqrt{x}$ и $x_0 = 4$

Шаг 1. Найдём производную функции $y = \sqrt{x}$.
Запишем $\sqrt{x}$ в виде степени:

$$y = x^{1/2}$$

Шаг 2. Используем правило дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx} \left(x^n\right) = n \cdot x^{n — 1}$$

Шаг 3. Применим правило к $x^{1/2}$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = 4$:

$$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

б) $y = x^2$ и $x_0 = -7$

Шаг 1. Найдём производную функции $y = x^2$.

Шаг 2. Используем формулу производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n — 1}$$

Шаг 3. Применим формулу к $x^2$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Шаг 4. Подставим значение $x_0 = -7$:

$$y'(-7) = 2 \cdot (-7) = -14$$

в) $y = -3x — 11$ и $x_0 = -3$

Шаг 1. Найдём производную линейной функции $y = -3x — 11$.

Шаг 2. Напомним: производная константы равна 0, производная $ax$ равна $a$.

$$y’ = \frac{d}{dx}(-3x — 11) = -3 + 0 = -3$$

Шаг 3. Подставим значение $x_0 = -3$:

$$y'(-3) = -3$$

г) $y = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 0{,}5$

Шаг 1. Запишем функцию в виде степени:

$$y = x^{-1}$$

Шаг 2. Используем правило производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n — 1}$$

Шаг 3. Применим правило к $x^{-1}$:

$$y’ = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 4. Подставим значение $x_0 = 0{,}5$:

$$y'(0{,}5) = -\frac{1}{(0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} = -4$$

Ответы:

а) $\frac{1}{4}$
б) $-14$
в) $-3$
г) $-4$