ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{2}{x} — \frac{x}{2}$ и $x_0 = 4$;

б) $y = \sqrt{x} + 4$ и $x_0 = 9$;

в) $y = \frac{8}{x} — \frac{x^3}{3}$ и $x_0 = 1$;

г) $y = \sqrt{x} + 5x$ и $x_0 = 4$

а) $y = \frac{2}{x} — \frac{x}{2}$ и $x_0 = 4$;

$y’ = 2 \left( \frac{1}{x} \right)’ — \frac{1}{2} (x)’ = 2 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) — \frac{1}{2} = -\left( \frac{2}{x^2} + \frac{1}{2} \right);$

$y'(x_0) = -\left( \frac{2}{4^2} + \frac{1}{2} \right) = -\left( \frac{2}{16} + \frac{8}{16} \right) = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8};$

б) $y = \sqrt{x} + 4$ и $x_0 = 9$;

$y’ = (\sqrt{x})’ + (4)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}};$

$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6};$

в) $y = \frac{8}{x} — \frac{x^3}{3}$ и $x_0 = 1$;

$y’ = 8 \left( \frac{1}{x} \right)’ — \frac{1}{3} (x^3)’ = 8 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -\left( \frac{8}{x^2} + x^2 \right);$

$y'(x_0) = -\left( \frac{8}{1^2} + 1^2 \right) = -(8 + 1) = -9;$

г) $y = \sqrt{x} + 5x$ и $x_0 = 4$;

$y’ = (\sqrt{x})’ + (5x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 5;$

$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 5 = \frac{1}{2 \cdot 2} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = 5 \frac{1}{4}$

а) $y = \frac{2}{x} — \frac{x}{2}$, $x_0 = 4$

Шаг 1. Преобразуем запись:

$$y = 2 \cdot \frac{1}{x} — \frac{1}{2}x$$

Шаг 2. Вспомним производные:

• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $(x)’ = 1$

Шаг 3. Применим правила производной:

$$y’ = 2 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ — \frac{1}{2} \cdot (x)’ = 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) — \frac{1}{2}$$

Шаг 4. Преобразуем:

$$y’ = -\frac{2}{x^2} — \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Подставим $x_0 = 4$:

$$y'(4) = -\left( \frac{2}{4^2} + \frac{1}{2} \right) = -\left( \frac{2}{16} + \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 6. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2}{16} = \frac{1}{8},\quad \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \Rightarrow \frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{5}{8}$$

Шаг 7. Ответ:

$$y'(4) = -\frac{5}{8}$$

б) $y = \sqrt{x} + 4$, $x_0 = 9$

Шаг 1. Запишем функцию:

$$y = \sqrt{x} + 4 = x^{1/2} + 4$$

Шаг 2. Используем правила производных:

• $(x^{n})’ = n x^{n — 1}$
• Производная от константы равна 0

Шаг 3. Вычислим:

$$y’ = \left( x^{1/2} \right)’ + 0 = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = 9$:

$$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$

в) $y = \frac{8}{x} — \frac{x^3}{3}$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Запишем как сумму двух выражений:

$$y = 8 \cdot \frac{1}{x} — \frac{1}{3} x^3$$

Шаг 2. Производные:

• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $(x^3)’ = 3x^2$

Шаг 3. Вычислим:

$$y’ = 8 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -\frac{8}{x^2} — x^2$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = 1$:

$$y'(1) = -\left( \frac{8}{1^2} + 1^2 \right) = -(8 + 1) = -9$$

г) $y = \sqrt{x} + 5x$, $x_0 = 4$

Шаг 1. Запишем:

$$y = x^{1/2} + 5x$$

Шаг 2. Производные:

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(5x)’ = 5$

Шаг 3. Найдём общую производную:

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 5$$

Шаг 4. Подставим $x_0 = 4$:

$$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} + 5 = \frac{1}{2 \cdot 2} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = 5\frac{1}{4}$$

Итоговые ответы:

а) $-\dfrac{5}{8}$
б) $\dfrac{1}{6}$
в) $-9$
г) $5\dfrac{1}{4}$