ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

б) $y = 2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

в) $y = \operatorname{ctg} x + \frac{\pi^2}{x}$ и $x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

г) $y = (2x + 3)^2 — 4 \operatorname{tg} x$ и $x_0 = 0$

а) $y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$y’ = (\operatorname{tg} x)’ + \sqrt{\pi} \cdot (\sqrt{x})’ = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{x}}$;

$y'(x_0) = \frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}} + \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{\frac{\pi}{4}}} = \left( 1 : \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \right) + \left( \sqrt{\pi} : \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \right) \right) = \frac{4}{2} + 1 = 3$;

б) $y = 2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

$y’ = 2 (\operatorname{ctg} x)’ — 3 (\operatorname{tg} x)’ = -\left( \frac{2}{\sin^2 x} + \frac{3}{\cos^2 x} \right)$;

$y'(x_0) = -\left( \frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{3}} + \frac{3}{\cos^2 \frac{\pi}{3}} \right) = -\left( 2 : \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + 3 : \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) =$

$= -\left( 2 \cdot \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{4}{1} \right) = -\left( \frac{8}{3} + 12 \right) = -\left( 2 \frac{2}{3} + 12 \right) = -14 \frac{2}{3}$;

в) $y = \operatorname{ctg} x + \frac{\pi^2}{x}$ и $x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

$y’ = (\operatorname{ctg} x)’ + \pi^2 \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} — \frac{\pi^2}{x^2}$;

$y'(x_0) = -\frac{1}{\sin^2 \left( -\frac{\pi}{6} \right)} — \left( \pi^2 : \left( -\frac{\pi}{6} \right)^2 \right) = \left( -1 : \left( -\frac{1}{2} \right)^2 \right) — \left( \pi^2 \cdot \frac{36}{\pi^2} \right) =$

$= -4 — 36 = -40$;

г) $y = (2x + 3)^2 — 4 \operatorname{tg} x$ и $x_0 = 0$;

$y = 4x^2 + 12x + 9 — 4 \operatorname{tg} x$;

$y’ = 4(x^2)’ + (12x + 9)’ — 4 (\operatorname{tg} x)’ = 4 \cdot 2x + 12 — \frac{4}{\cos^2 x}$;

$y'(x_0) = 4 \cdot 2 \cdot 0 + 12 — \frac{4}{\cos^2 0} = 12 — \frac{4}{1^2} = 12 — 4 = 8$;

а)

Функция:
$y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}$,
Точка: $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$.

Шаг 1. Найдём производную $y’$

Функция состоит из двух слагаемых:

$\operatorname{tg} x$ — производная:

$$\frac{d}{dx} (\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

$\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{x}$ — константа умножается на корень из переменной:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{\pi} \cdot x^{1/2} \right) = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

Объединяя:

$$y’ = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{x}}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в производную

Найдём сначала $\cos \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь:

$$\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

Теперь подставим во вторую часть:

$$\sqrt{x} = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{\pi}}{2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = 1$$

Суммируем:

$$y'(x_0) = 2 + 1 = 3$$

Ответ для пункта а:

$$\boxed{3}$$

б)

Функция:
$y = 2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x$,
Точка: $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1. Найдём производную $y’$

• $\frac{d}{dx} (\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
• $\frac{d}{dx} (\operatorname{tg} x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

Применяем коэффициенты:

$$y’ = 2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) — 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\left( \frac{2}{\sin^2 x} + \frac{3}{\cos^2 x} \right)$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = \frac{\pi}{3}$

• $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2 = \frac{3}{4}$
• $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 = \frac{1}{4}$

Теперь:

$$\frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{3}} = \frac{2}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{3}$$ $$\frac{3}{\cos^2 \frac{\pi}{3}} = \frac{3}{\frac{1}{4}} = 12$$ $$y'(x_0) = -\left( \frac{8}{3} + 12 \right) = -\left( \frac{8 + 36}{3} \right) = -\frac{44}{3} = -14 \frac{2}{3}$$

Ответ для пункта б:

$$\boxed{-14 \dfrac{2}{3}}$$

в)

Функция:
$y = \operatorname{ctg} x + \dfrac{\pi^2}{x}$,
Точка: $x_0 = -\dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1. Найдём производную $y’$

1. $\frac{d}{dx} (\operatorname{ctg} x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
2. $\frac{d}{dx} \left( \frac{\pi^2}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{x^2}$

$$y’ = -\frac{1}{\sin^2 x} — \frac{\pi^2}{x^2}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = -\frac{\pi}{6}$

1. $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \Rightarrow \sin^2 = \frac{1}{4}$
2. $\left( -\frac{\pi}{6} \right)^2 = \frac{\pi^2}{36} \Rightarrow \frac{1}{x^2} = \frac{36}{\pi^2}$

Теперь:

• $-\frac{1}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$
• $-\frac{\pi^2}{x^2} = -\pi^2 \cdot \frac{36}{\pi^2} = -36$

Суммируем:

$$y'(x_0) = -4 — 36 = -40$$

Ответ для пункта в:

$$\boxed{-40}$$

г)

Функция:
$y = (2x + 3)^2 — 4 \operatorname{tg} x$,
Точка: $x_0 = 0$

Шаг 1. Упростим выражение перед дифференцированием

$$(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$$ $$y = 4x^2 + 12x + 9 — 4 \operatorname{tg} x$$

Шаг 2. Найдём производную $y’$

• $\frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
• $\frac{d}{dx}(12x) = 12$
• $\frac{d}{dx}(9) = 0$
• $\frac{d}{dx}(-4 \operatorname{tg} x) = -4 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

$$y’ = 8x + 12 — \frac{4}{\cos^2 x}$$

Шаг 3. Подставим $x_0 = 0$

• $\cos 0 = 1 \Rightarrow \cos^2 0 = 1$

$$y'(0) = 8 \cdot 0 + 12 — \frac{4}{1} = 12 — 4 = 8$$

Ответ для пункта г:

$$\boxed{8}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{3}$

б) $\boxed{-14 \dfrac{2}{3}}$

в) $\boxed{-40}$

г) $\boxed{8}$