ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \frac{\sin x}{x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \frac{x+1}{x-1}$ и $x_0 = 2$;

в) $y = \frac{\cos x}{x}$ и $x_0 = \pi$;

г) $y = \frac{2x}{x+1}$ и $x_0 = 0$

а) $y = \frac{\sin x}{x}$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

$$y’ = \frac{(\sin x)’ \cdot x — \sin x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{x \cos x — \sin x}{x^2};$$ $$y'(x_0) = \frac{\frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{2}}{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2} = \left( \frac{\pi}{2} \cdot 0 — 1 \right) : \frac{\pi^2}{4} = -1 \cdot \frac{4}{\pi^2} = -\frac{4}{\pi^2};$$

б) $y = \frac{x+1}{x-1}$ и $x_0 = 2$;

$$y’ = \frac{(x+1)'(x-1) — (x+1)(x-1)’}{(x-1)^2} = \frac{(x-1) — (x+1)}{(x-1)^2} = -\frac{2}{(x-1)^2};$$ $$y'(x_0) = \frac{2}{(2-1)^2} = -\frac{2}{1^2} = -2;$$

в) $y = \frac{\cos x}{x}$ и $x_0 = \pi$;

$$y’ = \frac{(\cos x)’ \cdot x — \cos x \cdot (x)’}{x^2} = \frac{-x \sin x — \cos x}{x^2} = -\frac{x \sin x + \cos x}{x^2};$$ $$y'(x_0) = -\frac{\pi \sin \pi + \cos \pi}{\pi^2} = -\frac{\pi \cdot 0 — 1}{\pi^2} = \frac{1}{\pi^2};$$

г) $y = \frac{2x}{x+1}$ и $x_0 = 0$;

$$y’ = \frac{(2x)'(x+1) — 2x(x+1)’}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) — 2x}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 — 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2};$$ $$y'(x_0) = \frac{2}{(0+1)^2} = \frac{2}{1^2} = 2$$

а)

Функция: $y = \frac{\sin x}{x}$, Точка: $x_0 = \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Найдём производную функции

Это дробь, значит, используем правило производной частного:

Если $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, то

$$y’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

В нашем случае:

• $u(x) = \sin x$,
• $v(x) = x$

Находим производные:

• $u'(x) = \cos x$
• $v'(x) = 1$

Теперь подставим всё по формуле:

$$y’ = \frac{\cos x \cdot x — \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x — \sin x}{x^2}$$

Шаг 2: Найдём значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в полученную формулу:

$$y’\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{2} — \sin \frac{\pi}{2}}{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}$$

Подставим значения:

• $\cos \frac{\pi}{2} = 0$
• $\sin \frac{\pi}{2} = 1$

Тогда:

$$y’\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{ \frac{\pi}{2} \cdot 0 — 1 }{ \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 } = \frac{ -1 }{ \frac{\pi^2}{4} }$$

Деление на дробь:

$$\frac{-1}{\frac{\pi^2}{4}} = -1 \cdot \frac{4}{\pi^2} = -\frac{4}{\pi^2}$$

Ответ: $y’ \left( \frac{\pi}{2} \right) = -\frac{4}{\pi^2}$

б)

Функция: $y = \frac{x+1}{x-1}$, Точка: $x_0 = 2$

Шаг 1: Найдём производную

Опять используем правило производной частного:

• $u(x) = x+1$, $u'(x) = 1$
• $v(x) = x-1$, $v'(x) = 1$

$$y’ = \frac{1 \cdot (x-1) — (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1) — (x+1)}{(x-1)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x — 1) — (x + 1) = x — 1 — x — 1 = -2$$ $$y’ = \frac{-2}{(x-1)^2}$$

Шаг 2: Подставим $x = 2$

$$y'(2) = \frac{-2}{(2 — 1)^2} = \frac{-2}{1^2} = -2$$

Ответ: $y'(2) = -2$

в)

Функция: $y = \frac{\cos x}{x}$, Точка: $x_0 = \pi$

Шаг 1: Найдём производную

Опять используем правило частного:

• $u(x) = \cos x$, $u'(x) = -\sin x$
• $v(x) = x$, $v'(x) = 1$

$$y’ = \frac{(-\sin x) \cdot x — \cos x \cdot 1}{x^2} = \frac{-x \sin x — \cos x}{x^2}$$

Можно переписать:

$$y’ = -\frac{x \sin x + \cos x}{x^2}$$

Шаг 2: Подставим $x = \pi$

$$y'(\pi) = -\frac{ \pi \cdot \sin \pi + \cos \pi }{ \pi^2 }$$

Известно:

• $\sin \pi = 0$
• $\cos \pi = -1$

Подставляем:

$$y'(\pi) = -\frac{ \pi \cdot 0 + (-1) }{ \pi^2 } = -\frac{-1}{\pi^2} = \frac{1}{\pi^2}$$

Ответ: $y'(\pi) = \frac{1}{\pi^2}$

г)

Функция: $y = \frac{2x}{x+1}$, Точка: $x_0 = 0$

Шаг 1: Найдём производную

Снова правило частного:

• $u(x) = 2x$, $u'(x) = 2$
• $v(x) = x + 1$, $v'(x) = 1$

$$y’ = \frac{2 \cdot (x + 1) — 2x \cdot 1}{(x + 1)^2}$$

Раскроем скобки:

Числитель:

$$2(x + 1) — 2x = 2x + 2 — 2x = 2$$ $$y’ = \frac{2}{(x + 1)^2}$$

Шаг 2: Подставим $x = 0$

$$y'(0) = \frac{2}{(0 + 1)^2} = \frac{2}{1^2} = 2$$

Ответ: $y'(0) = 2$