ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента:

а) $y = \frac{1}{x^5} — 1,5x$;

б) $y = -\sqrt{x} + 14$;

в) $y = 1,4 \cos x — 3x$;

г) $y = \frac{12}{x^7} + 29$

а) $y = \frac{1}{x^5} — 1,5x$;
$y’ = (x^{-5})’ — (1,5x)’ = -5x^{-6} — 1,5 = -\frac{5}{x^6} — 1,5$;
$x^6 \geq 0$, тогда $-\frac{5}{x^6} < 0$;
$-1,5 < 0$, значит $y’ < 0$ при любых значениях $x$;

б) $y = -\sqrt{x} + 14$;
$y’ = -(\sqrt{x})’ + (14)’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{-1}{2\sqrt{x}}$;
$\sqrt{x} \geq 0$, тогда $2\sqrt{x} > 0$;
$-1 < 0$, значит $y’ < 0$ при любых значениях $x$;

в) $y = 1,4 \cos x — 3x$;
$y’ = 1,5 (\cos x)’ — (3x)’ = -1,5 \sin x — 3$;
$-1 \leq \sin x \leq 1$, тогда $-1,5 \leq -1,5 \sin x \leq 1,5$;
$3 < 1,5$, значит $y’ < 0$ при любых значениях $x$;

г) $y = \frac{12}{x^7} + 29$;
$y’ = 12(x^{-7})’ + (29)’ = 12 \cdot (-7) \cdot x^{-8} + 0 = -\frac{84}{x^8}$;
$x^8 > 0$ и $84 > 0$, значит $y’ < 0$ при любых значениях $x$.

а) $y = \frac{1}{x^5} — 1{,}5x$

Шаг 1. Перепишем функцию в степени:

$$y = x^{-5} — 1{,}5x$$

Шаг 2. Найдём производную каждого слагаемого:

$$y’ = (x^{-5})’ — (1{,}5x)’$$

Шаг 3. Используем правило производной степенной функции:

• Производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$

$$(x^{-5})’ = -5x^{-6}, \quad (1{,}5x)’ = 1{,}5$$

Шаг 4. Подставляем производные:

$$y’ = -5x^{-6} — 1{,}5 = -\frac{5}{x^6} — 1{,}5$$

Шаг 5. Исследуем знак производной.

• $x^6 > 0$ при всех $x \ne 0$
• Значит, $\frac{5}{x^6} > 0$, а $-\frac{5}{x^6} < 0$
• Также $-1{,}5 < 0$

Сумма двух отрицательных чисел остаётся отрицательной:

$$y’ = -\frac{5}{x^6} — 1{,}5 < 0$$

Вывод:

$$\boxed{y’ < 0 \text{ при всех } x \ne 0}$$

б) $y = -\sqrt{x} + 14$

Шаг 1. Запишем корень как степень:

$$y = -x^{1/2} + 14$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = (-x^{1/2})’ + (14)’$$

Шаг 3. Используем правила:

• $(x^n)’ = nx^{n-1}$
• Производная константы 14 равна 0

$$(x^{1/2})’ = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (-x^{1/2})’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Подставляем:

$$y’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{-1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 5. Анализ производной.

• $\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$
• $2\sqrt{x} > 0$ ⇒ знаменатель положительный
• Числитель –1 < 0

Значит:

$$y’ = \frac{-1}{2\sqrt{x}} < 0 \text{ при } x > 0$$

Вывод:

$$\boxed{y’ < 0 \text{ при всех } x > 0}$$

в) $y = 1{,}4 \cos x — 3x$

Внимание: в производной ошибочно указано 1.5 — исправим на 1.4.

Шаг 1. Найдём производную:

$$y’ = (1{,}4 \cos x)’ — (3x)’$$

Шаг 2. Используем правила:

• $(\cos x)’ = -\sin x$
• $(ax)’ = a$

$$(1{,}4 \cos x)’ = 1{,}4 \cdot (-\sin x) = -1{,}4 \sin x, \quad (3x)’ = 3$$

Шаг 3. Подставляем:

$$y’ = -1{,}4 \sin x — 3$$

Шаг 4. Исследуем диапазон значений.

• $\sin x \in [-1, 1]$
• Тогда $-1{,}4 \sin x \in [-1{,}4, 1{,}4]$

Складываем:

• Максимум: $-1{,}4 \cdot (-1) — 3 = 1{,}4 — 3 = -1{,}6$
• Минимум: $-1{,}4 \cdot (1) — 3 = -1{,}4 — 3 = -4{,}4$

Значит:

$$-4{,}4 \leq y’ \leq -1{,}6 \Rightarrow y’ < 0$$

Вывод:

$$\boxed{y’ < 0 \text{ при всех } x}$$

г) $y = \frac{12}{x^7} + 29$

Шаг 1. Запишем функцию в виде степени:

$$y = 12x^{-7} + 29$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$y’ = (12x^{-7})’ + (29)’$$

Шаг 3. Используем правила:

• $(x^n)’ = nx^{n-1}$
• $(ax^n)’ = a \cdot n x^{n-1}$

$$(12x^{-7})’ = 12 \cdot (-7) \cdot x^{-8} = -84x^{-8}, \quad (29)’ = 0$$

Шаг 4. Подставляем:

$$y’ = -84x^{-8} = -\frac{84}{x^8}$$

Шаг 5. Анализ производной:

• $x^8 > 0$ при $x \ne 0$
• $84 > 0$, значит $\frac{84}{x^8} > 0$
• Тогда $-\frac{84}{x^8} < 0$

Вывод:

$$\boxed{y’ < 0 \text{ при всех } x \ne 0}$$

$$\boxed{\text{Все функции убывают на своей области определения.}}$$