ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^3 — 3x$ принимает положительные значения;

б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = x^5 — \frac{5}{4}x^4$ принимает отрицательные значения;

в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = \sqrt{x} + x$ принимает неотрицательные значения;

г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $y = 7\cos x + 12$ принимает неположительные значения.

а) $y = x^3 — 3x$

Производная функции:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3;$$

Положительные значения:

$$3x^2 — 3 > 0;$$ $$3x^2 > 3 \quad | : 3;$$ $$x^2 > 1, \text{ отсюда } |x| > 1;$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = x^5 — \frac{5}{4}x^4$

Производная функции:

$$y’ = (x^5)’ — \frac{5}{4}(x^4)’ = 5x^4 — \frac{5}{4} \cdot 4x^3 = 5x^4 — 5x^3;$$

Отрицательные значения:

$$5x^4 — 5x^3 < 0;$$ $$5x^3(x — 1) < 0 \quad | : 5x^2;$$ $$x(x — 1) < 0;$$ $$0 < x < 1;$$

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в) $y = \sqrt{x} + x$

Производная функции:

$$y’ = (\sqrt{x})’ + (x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1;$$ $$(2\sqrt{x} \neq 0 \implies x > 0)$$

Неотрицательные значения:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \geq 0;$$ $$1 + 2\sqrt{x} \geq 0;$$ $$2\sqrt{x} \geq -1 \quad | : 2;$$ $$\sqrt{x} \geq -\frac{1}{2}, \text{ отсюда } x > 0;$$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $y = 7\cos x + 12$

Производная функции:

$$y’ = 7(\cos x)’ + (12)’ = 7 \cdot (-\sin x) + 0 = -7\sin x;$$

Неположительные значения:

$$-7\sin x \leq 0 \quad | : (-7);$$ $$\sin x \geq 0;$$

$\sin x \geq 0$ в I и II квадрантах, $T = 2\pi$:

$$0 \leq x \leq \pi;$$ $$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n]$.

а) $y = x^3 — 3x$

1. Найдём производную функции:

Запишем исходную функцию:

$$y = x^3 — 3x$$

Найдём производную каждого слагаемого:

• Производная $x^3$ равна $3x^2$
• Производная $3x$ равна $3$

С учетом знака:

$$y’ = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3$$

2. Найдём, при каких значениях производная положительна:

Пусть:

$$y’ > 0$$

Подставим производную:

$$3x^2 — 3 > 0$$

Решим неравенство:

Переносим -3 вправо:

$$3x^2 > 3$$

Делим обе части на 3:

$$x^2 > 1$$

Решение квадратного неравенства $x^2 > 1$:

• Это выполняется при $|x| > 1$, то есть:

$$x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$$

б) $y = x^5 — \frac{5}{4}x^4$

1. Найдём производную функции:

Исходная функция:

$$y = x^5 — \frac{5}{4}x^4$$

Найдём производную каждого слагаемого:

• Производная $x^5$ — это $5x^4$
• Производная $\frac{5}{4}x^4$ — это $\frac{5}{4} \cdot 4x^3 = 5x^3$

Теперь вычтем:

$$y’ = 5x^4 — 5x^3$$

2. Найдём, при каких значениях производная отрицательна:

$$5x^4 — 5x^3 < 0$$

Вынесем общий множитель:

$$5x^3(x — 1) < 0$$

Разделим обе части на $5$ (так как положительное число):

$$x^3(x — 1) < 0$$

Теперь решим это неравенство:

Рассмотрим знак выражения $x^3(x — 1)$:

• Найдём нули выражения: $x = 0$, $x = 1$
• Разобьём числовую прямую на интервалы:
  1. $x < 0$
  2. $0 < x < 1$
  3. $x > 1$

Проверим знак на каждом интервале:

• На $(-\infty; 0)$:
  $x^3 < 0$, $x — 1 < 0$ ⇒ произведение $(+)$
• На $(0; 1)$:
  $x^3 > 0$, $x — 1 < 0$ ⇒ произведение $(-)$
• На $(1; +\infty)$:
  $x^3 > 0$, $x — 1 > 0$ ⇒ произведение $(+)$

Итак, знак выражения отрицательный только на интервале $(0; 1)$

Ответ:

$$x \in (0; 1)$$

в) $y = \sqrt{x} + x$

1. Найдём производную функции:

Функция дана:

$$y = \sqrt{x} + x$$

Запишем корень как степень:

$$y = x^{1/2} + x$$

Теперь найдём производную:

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(x)’ = 1$

$$y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$$

2. Найдём область определения производной:

• Производная $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ определена только при $x > 0$
  (нельзя делить на 0, и подкоренное выражение должно быть положительно)

3. Найдём, при каких значениях производная неотрицательна:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 \geq 0$$

Обозначим:

$$1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \geq 0$$

Так как $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ при $x > 0$, а $1 > 0$, их сумма всегда положительна.
Следовательно:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 1 > 0 \text{ при } x > 0$$

А значит, при всех допустимых $x > 0$, производная неотрицательна.

Ответ:

$$x \in (0; +\infty)$$

г) $y = 7\cos x + 12$

1. Найдём производную функции:

Исходная функция:

$$y = 7\cos x + 12$$

Найдём производную:

• $(7\cos x)’ = 7 \cdot (-\sin x) = -7\sin x$
• $(12)’ = 0$

$$y’ = -7\sin x$$

2. Найдём, при каких значениях производная неположительна:

$$-7\sin x \leq 0$$

Разделим обе части на -7, меняя знак неравенства (так как -7 < 0):

$$\sin x \geq 0$$

3. Найдём значения $x$, при которых $\sin x \geq 0$:

• Функция $\sin x \geq 0$ на промежутках от 0 до $\pi$, с учётом периодичности:

Общий период синуса: $T = 2\pi$

Следовательно, все промежутки, где $\sin x \geq 0$:

$$x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n], \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n], \quad n \in \mathbb{Z}$$