ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите скорость изменения функции в точке $x_0$:

а) $y = x^2$ и $x_0 = -0{,}1$;

б) $y = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -2$;

в) $y = \sqrt{x}$ и $x_0 = 9$;

г) $y = \cos x$ и $x_0 = \pi$

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;

а) $y = x^2$ и $x_0 = -0{,}1$;

$y’ = (x^2)’ = 2x$;

$y'(x_0) = 2 \cdot (-0{,}1) = -0{,}2$;

б) $y = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -2$;

$y’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;

$y'(x_0) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$;

в) $y = \sqrt{x}$ и $x_0 = 9$;

$y’ = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$;

г) $y = \cos x$ и $x_0 = \pi$;

$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$;

$y'(x_0) = -\sin \pi = 0$

Скорость изменения функции в данной точке — это значение производной функции в этой точке.

То есть:
Если дана функция $y = f(x)$, и точка $x_0$,
то скорость изменения функции в точке $x_0$ — это
$y'(x_0) = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = x_0}$

а) $y = x^2$, $x_0 = -0{,}1$

Шаг 1. Найдём производную функции $y = x^2$:

Это стандартная производная степени:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$

Здесь $n = 2$, значит:

$$y’ = (x^2)’ = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$$

Шаг 2. Подставим значение $x_0 = -0{,}1$ в производную:

$$y'(x_0) = 2 \cdot (-0{,}1) = -0{,}2$$

Ответ для а):
Скорость изменения функции в точке $x = -0{,}1$ равна $-0{,}2$

б) $y = \dfrac{1}{x}$, $x_0 = -2$

Шаг 1. Найдём производную функции $y = \frac{1}{x}$:

Это тоже стандартная формула. Напомним:

$$\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Значит:

$$y’ = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 2. Подставим значение $x_0 = -2$ в производную:

$$y'(x_0) = -\frac{1}{(-2)^2} = -\frac{1}{4}$$

Шаг 3. Запишем в десятичной форме:

$$-\frac{1}{4} = -0{,}25$$

Ответ для б):
Скорость изменения функции в точке $x = -2$ равна $-0{,}25$

в) $y = \sqrt{x}$, $x_0 = 9$

Шаг 1. Представим корень как степень:

$$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 2. Найдём производную по правилу степеней:

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$

Здесь $n = \frac{1}{2}$:

$$y’ = \left(x^{1/2}\right)’ = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 3. Подставим $x_0 = 9$:

$$y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$

Ответ для в):
Скорость изменения функции в точке $x = 9$ равна $\frac{1}{6}$

г) $y = \cos x$, $x_0 = \pi$

Шаг 1. Найдём производную функции $y = \cos x$:

Это базовая формула из тригонометрических производных:

$$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Значит:

$$y’ = (\cos x)’ = -\sin x$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = \pi$:

Значение синуса в точке $\pi$:

$$\sin \pi = 0$$

Значит:

$$y'(x_0) = -\sin \pi = -0 = 0$$

Ответ для г):
Скорость изменения функции в точке $x = \pi$ равна $0$

Итоговые ответы:

а) $-0{,}2$
б) $-0{,}25$
в) $\frac{1}{6}$
г) $0$