ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите скорость изменения функции в точке $x_0$:

а) $y = x^3 + 2x$ и $x_0 = 2$;

б) $y = (\sqrt{x+1})\sqrt{x}$ и $x_0 = 1$;

в) $y = \frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right)$ и $x_0 = -0,5$;

г) $y = 2\sin x — 4x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Скорость изменения функции равна ее производной в данной точке;

а) $y = x^3 + 2x$ и $x_0 = 2$;

$$y’ = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2;$$ $$y'(x_0) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14;$$

б) $y = (\sqrt{x+1})\sqrt{x}$ и $x_0 = 1$;

$$y’ = (\sqrt{x+1})’\sqrt{x} + \sqrt{x+1}(\sqrt{x})’;$$ $$y’ = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+1}} + \frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}} = \frac{x + (x+1)}{2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x}} = \frac{2x+1}{2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x}};$$ $$y'(x_0) = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{1}} = \frac{2+1}{2\sqrt{2}\cdot1} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4};$$

в) $y = \frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right)$ и $x_0 = -0,5$;

$$y’ = \left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{4}{x}-2\right) + \frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right)’;$$ $$y’ = -\frac{1}{x^2}\left(\frac{4}{x}-2\right) + \frac{1}{x}\left(-\frac{4}{x^2}-0\right) = -\frac{4}{x^3} + \frac{2}{x^2} — \frac{4}{x^3} = \frac{2}{x^2} — \frac{8}{x^3};$$ $$y'(x_0) = \frac{2}{(-0,5)^2} — \frac{8}{(-0,5)^3} = \frac{2}{0,25} + \frac{8}{-0,125} = 8 + 64 = 72;$$

г) $y = 2\sin x — 4x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$$y’ = 2(\sin x)’ — (4x)’ = 2\cos x — 4;$$ $$y'(x_0) = 2\cos\frac{\pi}{4} — 4 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — 4 = \sqrt{2} — 4$$

Скорость изменения функции в точке — это значение производной функции в этой точке:

$$\text{Если } y = f(x), \text{ то } y'(x_0) = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x = x_0}$$

а) $y = x^3 + 2x$, $x_0 = 2$

Шаг 1. Найдём производную каждого слагаемого:

• Производная $x^3$ по формуле степени:

  $$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \Rightarrow (x^3)’ = 3x^2$$

• Производная $2x$ по линейности:

  $$(2x)’ = 2$$

Шаг 2. Складываем производные:

$$y’ = 3x^2 + 2$$

Шаг 3. Подставим $x = 2$:

$$y'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$$

Ответ: 14

б) $y = (\sqrt{x+1}) \cdot \sqrt{x}$, $x_0 = 1$

Форма произведения:
Это произведение двух функций:
$u(x) = \sqrt{x+1}$,
$v(x) = \sqrt{x}$

Применим правило производной произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Шаг 1. Производная $u(x) = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2}$:

$$u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$

Шаг 2. Производная $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$:

$$v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 3. Подставим в формулу:

$$y’ = u’v + uv’ = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4. Приведём к общему выражению:

$$y’ = \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+1}} + \frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}$$

Домножим числитель и знаменатель каждого слагаемого, чтобы получить общий знаменатель:

$$y’ = \frac{x + x + 1}{2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x}} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x}}$$

Шаг 5. Подставим $x = 1$:

• $\sqrt{x+1} = \sqrt{2}$
• $\sqrt{x} = \sqrt{1} = 1$

$$y'(1) = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$$

Рационализируем знаменатель:

$$\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

в) $y = \dfrac{1}{x}\left(\dfrac{4}{x} — 2\right)$, $x_0 = -0{,}5$

Функция задана в виде произведения:
$y = u(x) \cdot v(x)$, где:

• $u(x) = \frac{1}{x}$
• $v(x) = \frac{4}{x} — 2$

Применим правило производной произведения:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Шаг 1. Найдём производные:

• $u(x) = \frac{1}{x} \Rightarrow u'(x) = -\frac{1}{x^2}$
• $v(x) = \frac{4}{x} — 2 \Rightarrow v'(x) = -\frac{4}{x^2}$

Шаг 2. Применим формулу:

$$y’ = u’v + uv’ = -\frac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{4}{x} — 2\right) + \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{4}{x^2}\right)$$

Раскроем скобки:

• Первая часть:

$$-\frac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{4}{x} — 2\right) = -\left(\frac{4}{x^3} — \frac{2}{x^2}\right)$$

• Вторая часть:

$$\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{4}{x^2}\right) = -\frac{4}{x^3}$$

Шаг 3. Соберём всё вместе:

$$y’ = -\left(\frac{4}{x^3} — \frac{2}{x^2}\right) — \frac{4}{x^3} = -\frac{4}{x^3} + \frac{2}{x^2} — \frac{4}{x^3} = \frac{2}{x^2} — \frac{8}{x^3}$$

Шаг 4. Подставим $x = -0{,}5$:

• $x^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25$
• $x^3 = (-0{,}5)^3 = -0{,}125$

$$\frac{2}{0{,}25} — \frac{8}{-0{,}125} = 8 + 64 = 72$$

Ответ: 72

г) $y = 2\sin x — 4x$, $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$

Функция состоит из двух слагаемых:

• $(2\sin x)’ = 2\cos x$
• $(-4x)’ = -4$

Шаг 1. Находим производную:

$$y’ = 2\cos x — 4$$

Шаг 2. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$:

• $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$y’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — 4 = \sqrt{2} — 4$$

Ответ: $\sqrt{2} — 4$

Итоговые ответы:

а) $14$
б) $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
в) $72$
г) $\sqrt{2} — 4$