ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Существует ли производная заданной функции в точке $x_0$? Если да, то вычислите ее:

а) $y = |x — 2|(x — 2)$ и $x_0 = 2$;

б) $y = (x + 2)|x + 2|$ и $x_0 = -2$

а) $y = |x — 2|(x — 2)$ и $x_0 = 2$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} -(x — 2)^2, & \text{если } x < 2; \\ (x — 2)^2, & \text{если } x \geq 2; \end{cases}$$

График функции:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции:

$$y = (x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4;$$

Значение производной:

$$y’ = (x^2)’ — (4x + 4)’ = 2x — 4;$$ $$y'(x_0) = 2 \cdot 2 — 4 = 4 — 4 = 0;$$

Ответ: $y’ = 0$.

б) $y = (x + 2)|x + 2|$ и $x_0 = -2$;

По определению модуля числа:

$$y = \begin{cases} -(x + 2)^2, & \text{если } x < -2; \\ (x + 2)^2, & \text{если } x \geq -2; \end{cases}$$

График функции:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}$$

Искомая точка принадлежит функции:

$$y = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4;$$

Значение производной:

$$y’ = (x^2)’ + (4x + 4)’ = 2x + 4;$$ $$y'(x_0) = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0;$$

Ответ: $y’ = 0$.

а) $y = |x — 2|(x — 2)$, $x_0 = 2$

Шаг 1. Раскрываем модуль по определению

Функция содержит модуль: $|x — 2|$.
По определению модуля:

$$|x — 2| = \begin{cases} -(x — 2), & \text{если } x < 2; \\ x — 2, & \text{если } x \geq 2. \end{cases}$$

Подставим это в функцию:

$$y = |x — 2|(x — 2) = \begin{cases} -(x — 2)(x — 2), & x < 2; \\ (x — 2)(x — 2), & x \geq 2; \end{cases}$$

Упростим:

$$y = \begin{cases} -(x — 2)^2, & x < 2; \\ (x — 2)^2, & x \geq 2. \end{cases}$$

Шаг 2. Таблица значений функции

Подставим несколько значений $x$ в функцию и найдем соответствующие $y$:

| $x$ | $y = |x — 2|(x — 2)$ |
|———|—————————|
| $0$ | $|0 — 2| \cdot (0 — 2) = 2 \cdot (-2) = -4$ |
| $1$ | $|1 — 2| \cdot (1 — 2) = 1 \cdot (-1) = -1$ |
| $2$ | $|2 — 2| \cdot (2 — 2) = 0 \cdot 0 = 0$ |
| $3$ | $|3 — 2| \cdot (3 — 2) = 1 \cdot 1 = 1$ |
| $4$ | $|4 — 2| \cdot (4 — 2) = 2 \cdot 2 = 4$ |

Итоговая таблица:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}$$

Шаг 3. Уточняем выражение на отрезке, включающем $x_0 = 2$

Так как $x_0 = 2$, мы рассматриваем правую часть определения (так как $x \geq 2$):

$$y = (x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4.$$

Это и будет функция, которой принадлежит точка $x = 2$, а значит, именно это выражение мы будем дифференцировать.

Шаг 4. Находим производную $y’$

Найдём производную от:

$$y = x^2 — 4x + 4.$$

Дифференцируем по правилам:

• Производная от $x^2$ — это $2x$;
• Производная от $-4x$ — это $-4$;
• Производная от константы $4$ — это $0$.

Итак:

$$y’ = 2x — 4.$$

Шаг 5. Подставим $x_0 = 2$

$$y'(x_0) = y'(2) = 2 \cdot 2 — 4 = 4 — 4 = 0.$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = 0}$$

б) $y = (x + 2)|x + 2|$, $x_0 = -2$

Шаг 1. Раскрываем модуль по определению

Рассмотрим модуль $|x + 2|$.
По определению:

$$|x + 2| = \begin{cases} -(x + 2), & x < -2; \\ x + 2, & x \geq -2. \end{cases}$$

Тогда функция:

$$y = (x + 2)|x + 2| = \begin{cases} (x + 2)(-(x + 2)) = -(x + 2)^2, & x < -2; \\ (x + 2)(x + 2) = (x + 2)^2, & x \geq -2. \end{cases}$$

Шаг 2. Таблица значений

Подставим значения $x$:

| $x$ | $y = (x + 2)|x + 2|$ |
|———|—————————|
| $-4$ | $(-2)|-2| = -2 \cdot 2 = -4$ |
| $-3$ | $(-1)|-1| = -1 \cdot 1 = -1$ |
| $-2$ | $0 \cdot 0 = 0$ |
| $-1$ | $1 \cdot 1 = 1$ |
| $0$ | $2 \cdot 2 = 4$ |

Итоговая таблица:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}$$

Шаг 3. Найдём явное выражение для $x_0 = -2$

Так как $x_0 = -2$, рассматриваем правую часть (так как $x \geq -2$):

$$y = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4.$$

Шаг 4. Найдём производную

Функция:

$$y = x^2 + 4x + 4.$$

Дифференцируем:

• $(x^2)’ = 2x$;
• $(4x)’ = 4$;
• $(4)’ = 0$;

Итого:

$$y’ = 2x + 4.$$

Шаг 5. Подставим $x_0 = -2$

$$y'(x_0) = y'(-2) = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0.$$

Ответ:

$$\boxed{y’ = 0}$$