ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = x^2$ и $x_0 = -4$;

б) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -\frac{1}{3}$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = \frac{1}{2}$;

г) $f(x) = x^2$ и $x_0 = 2$

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен ее производной в данной точке;

а) $f(x) = x^2$ и $x_0 = -4$;

$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;

$k = f'(x_0) = 2 \cdot (-4) = -8$;

б) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = -\frac{1}{3}$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;

$k = f'(x_0) = -1 : \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = -1 : \frac{1}{9} = -9$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = \frac{1}{2}$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$;

$k = f'(x_0) = -1 : \left( \frac{1}{2} \right)^2 = -1 : \frac{1}{4} = -4$;

г) $f(x) = x^2$ и $x_0 = 2$;

$f'(x) = (x^2)’ = 2x$;

$k = f'(x_0) = 2 \cdot 2 = 4$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции $f(x)$ в этой точке, то есть:

$$k = f'(x_0)$$

где:

$f(x)$ — заданная функция,

$f'(x)$ — производная функции,

$x_0$ — конкретная точка, в которой строится касательная,

$k$ — угловой коэффициент касательной (то есть тангенс угла наклона касательной к оси $x$).

а) $f(x) = x^2$, $x_0 = -4$

Найдём производную функции $f(x) = x^2$.

Формула производной степени:

$$\left( x^n \right)’ = n \cdot x^{n-1}$$

Здесь $n = 2$, значит:

$$f'(x) = (x^2)’ = 2 \cdot x^{2 — 1} = 2x$$

Подставим значение $x_0 = -4$ в производную:

$$f'(-4) = 2 \cdot (-4) = -8$$

Ответ:
Угловой коэффициент касательной:

$$k = -8$$

б) $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $x_0 = -\dfrac{1}{3}$

Найдём производную функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

Это частный случай степени:

$$f(x) = x^{-1} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Подставим значение $x_0 = -\dfrac{1}{3}$ в производную:

$$f’\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\left(-\frac{1}{3}\right)^2}$$

Возведём в квадрат знаменатель:

$$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

Выполним деление:

$$-\frac{1}{\frac{1}{9}} = -1 \cdot \frac{9}{1} = -9$$

Ответ:
Угловой коэффициент касательной:

$$k = -9$$

в) $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $x_0 = \dfrac{1}{2}$

Функция та же: $f(x) = \frac{1}{x}$, производная уже найдена:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Подставим $x_0 = \frac{1}{2}$:

$$f’\left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2}$$

Вычислим квадрат:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Деление:

$$-\frac{1}{\frac{1}{4}} = -1 \cdot \frac{4}{1} = -4$$

Ответ:
Угловой коэффициент касательной:

$$k = -4$$

г) $f(x) = x^2$, $x_0 = 2$

Функция уже рассмотрена в пункте а):

$$f'(x) = 2x$$

Подставим значение $x_0 = 2$:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Ответ:
Угловой коэффициент касательной:

$$k = 4$$

Итоговые ответы:

а) $k = -8$
б) $k = -9$
в) $k = -4$
г) $k = 4$