ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $f(x) = \cos x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{6}$

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен ее производной в данной точке;

а) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$k = f'(x_0) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;

б) $f(x) = \cos x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{4}$;

$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;

$k = f'(x_0) = -\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $f(x) = \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;

$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;

$k = f'(x_0) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $f(x) = \sin x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$k = f'(x_0) = \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ — это значение производной функции $f(x)$ в этой точке:

$$k = f'(x_0)$$

Геометрически это наклон прямой, которая касается графика функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

а) $f(x) = \sin x$, $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим значение $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$ в производную

$$k = f’\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 3: Вспомним значение тригонометрической функции

$$\cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}$$

Ответ:

$$k = \dfrac{1}{2}$$

б) $f(x) = \cos x$, $x_0 = -\dfrac{\pi}{4}$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = \cos x \Rightarrow f'(x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим значение $x_0 = -\dfrac{\pi}{4}$

$$k = f’\left( -\dfrac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( -\dfrac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 3: Используем свойство синуса (нечётная функция)

$$\sin(-x) = -\sin(x) \Rightarrow \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$$

Подставим:

$$k = -(-\sin(\dfrac{\pi}{4})) = \sin(\dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$k = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

в) $f(x) = \cos x$, $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$

Шаг 1: Производная функции

$$f'(x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим значение:

$$k = f’\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = -\sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$

Шаг 3: Знаем, что:

$$\sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим:

$$k = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$k = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

г) $f(x) = \sin x$, $x_0 = -\dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1: Производная функции

$$f'(x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим значение:

$$k = f’\left( -\dfrac{\pi}{6} \right) = \cos \left( -\dfrac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 3: Используем чётность косинуса

$$\cos(-x) = \cos(x) \Rightarrow \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$$

А значит:

$$\cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Итоговые ответы:

а) $k = \dfrac{1}{2}$
б) $k = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
в) $k = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
г) $k = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$