ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен k, если:

а) $f(x) = \sqrt{x} — x$ и $k = 1$;

б) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$ и $k = 4$

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен ее производной в данной точке;

а) $f(x) = \sqrt{x} — x$ и $k = 1$;

$$k = f'(x) = (\sqrt{x})’ — (x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1;$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = 1;$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2;$$ $$1 = 4\sqrt{x};$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{4};$$ $$x = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16};$$

Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$ и $k = 4$;

$$k = f'(x) = (\sqrt{x})’ + (3x)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3;$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 = 4;$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1;$$ $$1 = 2\sqrt{x};$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{2};$$ $$x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4};$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен её производной в данной точке.

а) $f(x) = \sqrt{x} — x$, угловой коэффициент $k = 1$

Шаг 1. Запишем определение производной

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

$$k = f'(x)$$

Нам дано:

$$f(x) = \sqrt{x} — x, \quad k = 1$$

Значит, требуется найти такую точку $x$, при которой:

$$f'(x) = 1$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

Разделим функцию на два слагаемых и дифференцируем каждое:

Производная $\sqrt{x}$ равна:

$$(\sqrt{x})’ = \left(x^{1/2}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Производная $-x$ равна:

$$(-x)’ = -1$$

Следовательно, производная всей функции:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1$$

Шаг 3. Приравняем производную к угловому коэффициенту

$$f'(x) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = 1$$

Шаг 4. Решим уравнение

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = 1$$

Переносим $-1$ вправо:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 + 1 = 2$$

Шаг 5. Избавимся от дроби

Умножим обе части на $2\sqrt{x}$, чтобы убрать знаменатель:

$$1 = 2\sqrt{x} \cdot 2 \Rightarrow 1 = 4\sqrt{x}$$

Шаг 6. Найдём $\sqrt{x}$

$$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$$

Шаг 7. Возведём обе части в квадрат

$$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{16}}$

б) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$, угловой коэффициент $k = 4$

Шаг 1. Запишем определение производной

$$k = f'(x)$$

Нам дано:

$$f(x) = \sqrt{x} + 3x, \quad k = 4$$

Значит, требуется найти такую точку $x$, при которой:

$$f'(x) = 4$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

Производная $\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Производная $3x = 3$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$$

Шаг 3. Приравняем производную к угловому коэффициенту

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 = 4$$

Шаг 4. Решим уравнение

Вычтем 3 из обеих сторон:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$$

Шаг 5. Умножим обе части на $2\sqrt{x}$

$$1 = 2\sqrt{x}$$

Шаг 6. Найдём $\sqrt{x}$

$$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Возведём обе части в квадрат

$$x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{4}}$