ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен k, если:

а) $f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ и $k = -\frac{\sqrt{2}}{4}$;

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2}$ и $k = \frac{1}{2}$

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен ее производной в данной точке;

а) $f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ и $k = -\frac{\sqrt{2}}{4}$;

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2} \sin x$;

$k = f'(x) = \frac{1}{2} (\sin x)’ = \frac{1}{2} \cos x$;

$\frac{1}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{4}$;

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{4} : \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x = \pm \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3}{4} \pi + 2\pi n$ (T = 2π);

Ответ: $x = \pm \frac{3}{4} \pi + 2\pi n$;

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2}$ и $k = \frac{1}{2}$;

$f(x) = \frac{1 + \cos \left( 2 \cdot \frac{x}{2} \right)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos x$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{2} \right)’ + \frac{1}{2} (\cos x)’ = 0 + \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2}$;

$-\frac{\sin x}{2} = \frac{1}{2}$;

$\sin x = \frac{1}{2} : \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$;

$x = \arcsin(-1) + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (T = 2π);

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен её производной в данной точке.

а) $f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$, угловой коэффициент $k = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

Шаг 1. Преобразуем выражение функции

Используем тригонометрическую формулу:

$$\sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A)$$

У нас:

$$f(x) = \sin\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \sin x$$

Теперь наша функция:

$$f(x) = \frac{1}{2} \sin x$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f'(x) = \left(\frac{1}{2} \sin x \right)’ = \frac{1}{2} \cdot (\sin x)’ = \frac{1}{2} \cos x$$

Шаг 3. Приравняем производную к угловому коэффициенту

По условию задачи:

$$f'(x) = \frac{1}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 4. Решим уравнение

Умножим обе части на 2:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5. Найдём значения $x$

$$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значения косинуса равны $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ при:

$$x = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4}$$

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, общий вид решения:

$$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n}$

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{2}$, угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$

Шаг 1. Преобразуем выражение функции

Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2}$$

Применим к $A = \frac{x}{2}$:

$$f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos(x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos x$$

Шаг 2. Найдём производную функции

Дифференцируем:

$$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\right)’ + \frac{1}{2} (\cos x)’ = 0 + \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) = -\frac{1}{2} \sin x$$

Шаг 3. Приравняем производную к угловому коэффициенту

По условию:

$$f'(x) = -\frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 4. Решим уравнение

Умножим обе части на $-2$:

$$\sin x = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$$

Шаг 5. Найдём значения $x$

$$\sin x = -1$$

Это уравнение имеет решения:

$$x = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$$

Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, общее решение:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\boxed{x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$