ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой $x_0$ и осью х:

а) $f(x) = x^6 — 4x$ и $x_0 = 1$;

б) $f(x) = \sqrt{x} — 3$ и $x_0 = \frac{1}{4}$;

в) $f(x) = -x^5 — 2x^2 + 2$ и $x_0 = -1$;

г) $f(x) = \frac{25}{x} + 2$ и $x_0 = \frac{5}{4}$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной от функции в точке касания;

а) $f(x) = x^6 — 4x$ и $x_0 = 1$;

$$f'(x) = (x^6)’ — (4x)’ = 6x^5 — 4;$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = 6 \cdot 1^5 — 4 = 2;$$

б) $f(x) = \sqrt{x} — 3$ и $x_0 = \frac{1}{4}$;

$$f'(x) = (\sqrt{x})’ — (3)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}};$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{0{,}25}} = \frac{1}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{1}{1} = 1;$$

в) $f(x) = -x^5 — 2x^2 + 2$ и $x_0 = -1$;

$$f'(x) = -(x^5)’ — 2(x^2)’ + (2)’ = -5x^4 — 2 \cdot 2x + 0 = -5x^4 — 4x;$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = -5 \cdot (-1)^4 — 4 \cdot (-1) = -5 + 4 = -1;$$

г) $f(x) = \frac{25}{x} + 2$ и $x_0 = \frac{5}{4}$;

$$f'(x) = 25 \left( \frac{1}{x} \right)’ + (2)’ = 25 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) + 0 = -\frac{25}{x^2} = -\left( \frac{5}{x} \right)^2;$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = -\left( 5 : \frac{5}{4} \right)^2 = -\left( 5 \cdot \frac{4}{5} \right)^2 = -(4)^2 = -16;$$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен значению производной функции в точке касания.

То есть:

$$\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$$

а) $f(x) = x^6 — 4x$, $x_0 = 1$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Функция состоит из двух слагаемых: $x^6$ и $-4x$

• $(x^6)’ = 6x^5$
• $(-4x)’ = -4$

Итак:

$$f'(x) = 6x^5 — 4$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = 1$ в производную

$$f'(1) = 6 \cdot 1^5 — 4 = 6 \cdot 1 — 4 = 6 — 4 = 2$$

Ответ (тангенс угла): $\boxed{2}$

б) $f(x) = \sqrt{x} — 3$, $x_0 = \frac{1}{4}$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Функция состоит из: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и константы $-3$

• $(\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(-3)’ = 0$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = \frac{1}{4}$ в производную

$$f’\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{0{,}25}} = \frac{1}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ (тангенс угла): $\boxed{1}$

в) $f(x) = -x^5 — 2x^2 + 2$, $x_0 = -1$

Шаг 1. Найдём производную функции

Функция состоит из трёх слагаемых:

• $(-x^5)’ = -5x^4$
• $(-2x^2)’ = -4x$
• $(2)’ = 0$

$$f'(x) = -5x^4 — 4x$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = -1$

$$f'(-1) = -5 \cdot (-1)^4 — 4 \cdot (-1) = -5 \cdot 1 + 4 = -5 + 4 = -1$$

Ответ (тангенс угла): $\boxed{-1}$

г) $f(x) = \frac{25}{x} + 2$, $x_0 = \frac{5}{4}$

Шаг 1. Найдём производную функции

Представим $f(x) = 25x^{-1} + 2$

• $(25x^{-1})’ = -25x^{-2} = -\frac{25}{x^2}$
• $(2)’ = 0$

$$f'(x) = -\frac{25}{x^2}$$

Также можно записать:

$$f'(x) = -\left( \frac{5}{x} \right)^2$$

Поскольку:

$$\left( \frac{5}{x} \right)^2 = \frac{25}{x^2}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = \frac{5}{4}$

$$f’\left(\frac{5}{4}\right) = -\left( \frac{5}{\frac{5}{4}} \right)^2 = -\left( 5 \cdot \frac{4}{5} \right)^2 = -(4)^2 = -16$$

Ответ (тангенс угла): $\boxed{-16}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{2}$
б) $\boxed{1}$
в) $\boxed{-1}$
г) $\boxed{-16}$