ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $f(x) = 10 — \cos x$ и $x_0 = \frac{3\pi}{2}$;

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

в) $f(x) = 4 — \sin x$ и $x_0 = 6\pi$;

г) $f(x) = -4 \operatorname{ctg} x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{4}$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной от функции в точке касания;

а) $f(x) = 10 — \cos x$ и $x_0 = \frac{3\pi}{2}$;

$$f'(x) = (10)’ — (\cos x)’ = 0 — (-\sin x) = \sin x;$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = \sin \frac{3\pi}{2} = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1;$$

б) $f(x) = 2 \operatorname{tg} x$ и $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

$$f'(x) = 2 (\operatorname{tg} x)’ = \frac{2}{\cos^2 x};$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = \frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{4}} = 2 : \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 2 : \frac{2}{4} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4;$$

в) $f(x) = 4 — \sin x$ и $x_0 = 6\pi$;

$$f'(x) = (4)’ — (\sin x)’ = 0 — \cos x = -\cos x;$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = -\cos 6\pi = -\cos 0 = -1;$$

г) $f(x) = -4 \operatorname{ctg} x$ и $x_0 = -\frac{\pi}{4}$;

$$f'(x) = -4 (\operatorname{ctg} x)’ = -4 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \frac{4}{\sin^2 x};$$ $$\operatorname{tg} a = f'(x_0) = \frac{4}{\sin^2 \left( -\frac{\pi}{4} \right)} = 4 : \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 : \frac{2}{4} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8;$$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной функции в точке касания:

$$\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$$

а) $f(x) = 10 — \cos x$, $x_0 = \frac{3\pi}{2}$

Шаг 1. Найдём производную функции

• $(10)’ = 0$
• $(\cos x)’ = -\sin x$

Значит:

$$f'(x) = 0 — (-\sin x) = \sin x$$

Шаг 2. Подставим значение $x_0 = \frac{3\pi}{2}$

$$f’\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{3\pi}{2} \right)$$

Поскольку:

$$\sin\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

б) $f(x) = 2 \tan x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1. Найдём производную функции

• $(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Следовательно:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = \frac{\pi}{4}$

$$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)}$$

Значение:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь:

$$f’\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$

Ответ: $\boxed{4}$

в) $f(x) = 4 — \sin x$, $x_0 = 6\pi$

Шаг 1. Найдём производную функции

• $(4)’ = 0$
• $(\sin x)’ = \cos x$

Следовательно:

$$f'(x) = 0 — \cos x = -\cos x$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = 6\pi$

$$f'(6\pi) = -\cos(6\pi)$$

Так как:

$$\cos(6\pi) = \cos(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad f'(6\pi) = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

г) $f(x) = -4 \cot x$, $x_0 = -\frac{\pi}{4}$

Шаг 1. Найдём производную функции

• $(\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Тогда:

$$f'(x) = -4 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \frac{4}{\sin^2 x}$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = -\frac{\pi}{4}$

$$f’\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{\sin^2\left( -\frac{\pi}{4} \right)}$$

Значение:

$$\sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin^2\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь:

$$f’\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

Ответ: $\boxed{8}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{-1}$
б) $\boxed{4}$
в) $\boxed{-1}$
г) $\boxed{8}$