ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = h(x) образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а:

а) $h(x) = x^2 — 3x + 19$ и $a = 45^\circ$;

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}$ и $a = 135^\circ$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной от функции в точке касания;

а) $h(x) = x^2 — 3x + 19$ и $a = 45^\circ$;

$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$;

$h'(x) = (x^2)’ — (3x + 19)’ = 2x — 3$;

$2x — 3 = 1$;

$2x = 4$, отсюда $x = 2$;

Ответ: $x = 2$.

б) $h(x) = \frac{4}{x+2}$ и $a = 135^\circ$;

$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} 135^\circ = -1$;

$h'(x) = \frac{(4)'(x+2) — 4(x+2)’}{(x+2)^2} = \frac{0 \cdot (x+2) — 4 \cdot 1}{(x+2)^2} = -\frac{4}{(x+2)^2}$;

$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1$;

$\frac{4}{(x+2)^2} = 1 \quad | \cdot (x+2)^2$;

$4 = (x+2)^2$;

$(x+2)^2 — 4 = 0$;

$x^2 + 4x + 4 — 4 = 0$;

$x^2 + 4x = 0$;

$x(x+4) = 0$;

$x_1 = 0$;

$x_2 + 4 = 0$, отсюда $x_2 = -4$;

Ответ: $x = 0$ и $x = -4$.

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен значению производной функции в точке касания.
То есть:

$$\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$$

а)

Функция:

$$h(x) = x^2 — 3x + 19$$

Угол наклона касательной:

$$a = 45^\circ$$

Шаг 1: Вычислим $\operatorname{tg} a$

$$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$$

Шаг 2: Найдём производную функции $h(x)$

Функция:

$$h(x) = x^2 — 3x + 19$$

Дифференцируем каждый член:

• Производная $(x^2)’ = 2x$
• Производная $(-3x)’ = -3$
• Производная $(19)’ = 0$

Итак:

$$h'(x) = 2x — 3$$

Шаг 3: Приравняем производную к $\operatorname{tg} a$

$$h'(x) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$$ $$2x — 3 = 1$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$2x = 1 + 3 = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: $\boxed{x = 2}$

б)

Функция:

$$h(x) = \frac{4}{x+2}$$

Угол наклона касательной:

$$a = 135^\circ$$

Шаг 1: Вычислим $\operatorname{tg} a$

$$\operatorname{tg} 135^\circ = -1$$

(так как 135° — это 180° – 45°, а $\tan(180^\circ — \theta) = -\tan \theta$)

Шаг 2: Найдём производную функции $h(x) = \dfrac{4}{x + 2}$

Перепишем в виде степенной функции:

$$h(x) = 4(x+2)^{-1}$$

Применим правило производной сложной функции:

$$h'(x) = 4 \cdot (-1)(x + 2)^{-2} \cdot (x + 2)’ = -\frac{4}{(x + 2)^2}$$

Или по правилу производной дроби:

$$h(x) = \frac{4}{x+2} = \frac{u}{v}, \text{ где } u = 4, \, v = x + 2$$

Формула производной:

$$\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Найдём:

• $u’ = 0$, так как $u = 4$
• $v’ = 1$, так как $v = x + 2$

Подставим:

$$h'(x) = \frac{0 \cdot (x + 2) — 4 \cdot 1}{(x + 2)^2} = -\frac{4}{(x + 2)^2}$$

Шаг 3: Приравняем производную к $\operatorname{tg} a$

$$-\frac{4}{(x+2)^2} = -1$$

Домножим обе части на $-1$:

$$\frac{4}{(x+2)^2} = 1$$

Шаг 4: Решим уравнение

$$\frac{4}{(x+2)^2} = 1$$

Умножим обе части на $(x+2)^2$:

$$4 = (x+2)^2$$

Шаг 5: Раскроем скобки

$$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 4$$

Вычтем 4 из обеих частей:

$$x^2 + 4x = 0$$

Шаг 6: Найдём корни квадратного уравнения

$$x(x + 4) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \end{cases}$$

Ответ: $\boxed{x = 0}$ и $\boxed{x = -4}$