ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = h(x) образует острый угол с положительным направлением оси х, если:

а) $h(x) = x^3 — 3x^2 + 1$;

б) $h(x) = 4\sqrt{x} — x$;

в) $h(x) = x^3 — x^4 — 19$;

г) $h(x) = \operatorname{tg} x — 4x$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной от функции в точке касания;

$0^\circ < \alpha < 90^\circ$, значит $\operatorname{tg} \alpha > 0$;

а) $h(x) = x^3 — 3x^2 + 1$;

$$h'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (1)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x;$$ $$3x^2 — 6x > 0 \quad | : 3;$$ $$x^2 — 2x > 0;$$ $$x(x — 2) > 0;$$ $$x > 2 \text{ и } x < 0;$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б) $h(x) = 4\sqrt{x} — x$;

$$h'(x) = 4(\sqrt{x})’ — (x)’ = \frac{4}{2\sqrt{x}} — 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} — 1;$$ $$\frac{2}{\sqrt{x}} — 1 > 0;$$ $$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1 \quad | \cdot \sqrt{x};$$ $$2 > \sqrt{x};$$ $$x < 2^2;$$ $$x < 4 \text{ и } (\sqrt{x} > 0 \implies x > 0);$$

Ответ: $x \in (0; 4)$.

в) $h(x) = x^3 — x^4 — 19$;

$$h'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ — (19)’ = 3x^2 — 4x^3 — 0 = 3x^2 — 4x^3;$$ $$3x^2 — 4x^3 > 0;$$ $$x^2(3 — 4x) > 0 \quad | : x^2;$$ $$3 — 4x > 0;$$ $$3 > 4x;$$ $$x < \frac{3}{4} \text{ и } (x \neq 0);$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \left( 0; \frac{3}{4} \right)$.

г) $h(x) = \operatorname{tg} x — 4x$;

$$h'(x) = (\operatorname{tg} x)’ — (4x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — 4;$$ $$\frac{1}{\cos^2 x} — 4 > 0;$$ $$\frac{1}{\cos^2 x} > 4 \quad | \cdot \cos^2 x;$$ $$1 > 4\cos^2 x \quad | : 4;$$ $$\cos^2 x < \frac{1}{4};$$ $$|\cos x| < \frac{1}{2};$$ $$-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2} \text{ и } (\cos x \neq 0);$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \text{ и } \left( x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right);$$

Ответ: $x \in \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$.

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной функции в точке касания.

Угол $\alpha$ лежит в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, значит:

$$\tan \alpha > 0 \Rightarrow h'(x) > 0.$$

Иными словами, нас просят найти все значения $x$, при которых производная функции положительна.

а) $h(x) = x^3 — 3x^2 + 1$

Шаг 1: Найдём производную функции $h(x)$:

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(1)$$ $$h'(x) = 3x^2 — 6x + 0 = 3x^2 — 6x$$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим неравенство:

$$3x^2 — 6x > 0$$

Разделим обе части неравенства на 3:

$$x^2 — 2x > 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x — 2) > 0$$

Решим методом интервалов:

• Найдём нули: $x = 0$ и $x = 2$
• Разметим интервалы: $(-\infty; 0), (0; 2), (2; +\infty)$
• Знаки:
  • На $(-\infty; 0)$: отрицательное · отрицательное = положительное
  • На $(0; 2)$: положительное · отрицательное = отрицательное
  • На $(2; +\infty)$: положительное · положительное = положительное

Оставляем только те промежутки, где знак «плюс»:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$$

Ответ (а): $\boxed{x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)}$

б) $h(x) = 4\sqrt{x} — x$

Шаг 1: Найдём производную:

$$h'(x) = 4 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) — \frac{d}{dx}(x)$$

Напомним:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad \frac{d}{dx}(x) = 1$$ $$h'(x) = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} — 1$$

Шаг 2: Решим неравенство $\frac{2}{\sqrt{x}} — 1 > 0$:

$$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1$$

Умножим обе части на $\sqrt{x}$ (допустимо, так как $x > 0$):

$$2 > \sqrt{x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4 > x \quad \Rightarrow \quad x < 4$$

Так как $\sqrt{x}$ определено только при $x > 0$, область допустимых значений:

$$x \in (0; 4)$$

Ответ (б): $\boxed{x \in (0; 4)}$

в) $h(x) = x^3 — x^4 — 19$

Шаг 1: Найдём производную:

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — \frac{d}{dx}(x^4) — \frac{d}{dx}(19)$$ $$h'(x) = 3x^2 — 4x^3 — 0 = 3x^2 — 4x^3$$

Шаг 2: Решим неравенство:

$$3x^2 — 4x^3 > 0$$

Вынесем $x^2$ за скобки:

$$x^2(3 — 4x) > 0$$

Анализ:

• $x^2 \geq 0$, всегда неотрицательное
• Чтобы произведение было положительным:
  • $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$
  • $3 — 4x > 0 \Rightarrow x < \frac{3}{4}$

Итак:

$$x \in (-\infty; 0) \cup \left( 0; \frac{3}{4} \right)$$

Ответ (в): $\boxed{x \in (-\infty; 0) \cup \left( 0; \frac{3}{4} \right)}$

г) $h(x) = \operatorname{tg} x — 4x$

Шаг 1: Найдём производную:

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) — \frac{d}{dx}(4x)$$

Напомним:

• $\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
• $\frac{d}{dx}(4x) = 4$

$$h'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} — 4$$

Шаг 2: Решим неравенство $\frac{1}{\cos^2 x} — 4 > 0$:

$$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$$

Умножим обе части на $\cos^2 x$ (допустимо, если $\cos x \neq 0$):

$$1 > 4\cos^2 x \Rightarrow \cos^2 x < \frac{1}{4}$$

Извлекаем корень:

$$|\cos x| < \frac{1}{2}$$

Это означает, что $\cos x$ лежит в промежутке:

$$— \frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём промежутки, где $|\cos x| < \frac{1}{2}$

График $\cos x$ падает от 1 до -1 на интервале $[0; 2\pi]$

Решим:

$$\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Таким образом, $|\cos x| < \frac{1}{2}$ на интервале:

$$x \in \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$$

Но нужно исключить точки, где $\cos x = 0$, то есть точки разрыва производной:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 4: Разделим промежутки вокруг точек разрыва:

• До: $\left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$
• После: $\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$

Ответ (г):

$$\boxed{ x \in \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) }$$

где $n \in \mathbb{Z}$