ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = ${\phi }^{\mathrm{}}$(x) образует тупой угол с положительным направлением оси х, если:

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$;

б) $\varphi(x) = 0,2x^5 — 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$;

в) $\varphi(x) = \operatorname{ctg} x + 9x$;

г) $\varphi(x) = x^4 — \frac{1}{3}x^3 + 21$

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной от функции в точке касания;
$90^\circ < \alpha < 180^\circ$, значит $\operatorname{tg} \alpha < 0$.

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$;
$\varphi'(x) = (\sin x)’ + (3)’ = \cos x + 0 = \cos x$;
$\cos x < 0$ во II и III квадрантах, $T = 2\pi$:
$\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2};$
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$
Ответ: $x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3}{2}\pi + 2\pi n \right).$

б) $\varphi(x) = 0,2x^5 — 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$;
$\varphi'(x) = (0,2x^5)’ — \frac{10}{3}(x^3)’ + (9x)’$;
$\varphi'(x) = 0,2 \cdot 5x^4 — \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 9 = x^4 — 10x^2 + 9$;
Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 10y + 9 = 0;$
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64, \text{ тогда: }$
$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1 \text{ и } y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9;$
$(y — 1)(y — 9) < 0;$
$1 < y < 9;$
$1 < x^2 < 9;$
$\pm 1 < |x| < \pm 3;$
Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.

в) $\varphi(x) = \operatorname{ctg} x + 9x$;
$\varphi'(x) = (\operatorname{ctg} x)’ + (9x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} + 9$;
Пусть $y = \sin x$, тогда:
$9 — \frac{1}{y^2} < 0;$
$\left( 3 + \frac{1}{y} \right) \left( 3 — \frac{1}{y} \right) < 0;$
$-\frac{1}{3} < y < \frac{1}{3};$
$-\frac{1}{3} < \sin x < \frac{1}{3} \text{ и } (\sin x \neq 0);$
Ответ: $\pi n — \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) < x < \pi n + \arcsin \left( \frac{1}{3} \right)$.

г) $\varphi(x) = x^4 — \frac{1}{3}x^3 + 21$;
$\varphi'(x) = (x^4)’ — \frac{1}{3}(x^3)’ + (21)’$;
$\varphi'(x) = 4x^3 — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0 = 4x^3 — x^2$;
$4x^3 — x^2 < 0;$
$x^2(4x — 1) < 0 \quad | : x^2;$
$4x — 1 < 0;$
$4x < 1;$
$x < \frac{1}{4} \text{ и } (x \neq 0);$
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \left( 0; \frac{1}{4} \right)$.

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $x$ равен производной функции в точке касания:

$\operatorname{tg} \alpha = \varphi'(x_0)$

Если $\alpha \in (90^\circ; 180^\circ)$, то $\operatorname{tg} \alpha < 0$.
Это значит, что касательная убывает, и производная функции в этой точке — отрицательна:

$\varphi'(x) < 0$

Значит, мы ищем такие значения $x$, при которых производная функции меньше нуля:

Найти множество значений $x$, для которых $\varphi'(x) < 0$.

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$

Шаг 1. Найдём производную:

$$\varphi'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + 3) = \cos x + 0 = \cos x$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$\cos x < 0$$

Шаг 3. Где $\cos x < 0$?

• Косинус отрицателен во II и III квадрантах:

  $$\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$$

• Поскольку косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, это неравенство повторяется каждый полный оборот:

  $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}$$

б) $\varphi(x) = 0{,}2x^5 — 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$

Шаг 1. Преобразуем коэффициенты:

• $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, значит:

  $$\varphi(x) = 0{,}2x^5 — \frac{10}{3}x^3 + 9x$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$\varphi'(x) = \frac{d}{dx}(0{,}2x^5) — \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(9x)$$ $$= 0{,}2 \cdot 5x^4 — \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 9$$ $$= x^4 — 10x^2 + 9$$

Шаг 3. Решим неравенство:

$$x^4 — 10x^2 + 9 < 0$$

Шаг 4. Подстановка $y = x^2$:

$$x^4 — 10x^2 + 9 = y^2 — 10y + 9$$

Шаг 5. Решим квадратное неравенство:

$$y^2 — 10y + 9 < 0$$

Находим корни квадратного уравнения:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$$ $$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1,\quad y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$

Шаг 6. Запишем решение:

$$(y — 1)(y — 9) < 0 \Rightarrow 1 < y < 9$$

Шаг 7. Возвращаемся к $x$:

$$y = x^2 \Rightarrow 1 < x^2 < 9$$

Из этого:

$$x^2 > 1 \Rightarrow |x| > 1,\quad x^2 < 9 \Rightarrow |x| < 3$$ $$\Rightarrow 1 < |x| < 3 \Rightarrow x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$$

Ответ:

$$x \in (-3;\, -1) \cup (1;\, 3)$$

в) $\varphi(x) = \operatorname{ctg}x + 9x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$\varphi'(x) = \frac{d}{dx}(\operatorname{ctg}x) + \frac{d}{dx}(9x) = -\frac{1}{\sin^2 x} + 9$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$-\frac{1}{\sin^2 x} + 9 < 0 \Rightarrow 9 — \frac{1}{\sin^2 x} < 0$$

Шаг 3. Подстановка: $y = \sin x$, $y \ne 0$:

$$9 — \frac{1}{y^2} < 0 \Rightarrow \frac{1}{y^2} > 9 \Rightarrow y^2 < \frac{1}{9} \Rightarrow -\frac{1}{3} < y < \frac{1}{3},\quad y \ne 0$$

Шаг 4. Возвращаемся к $x$:

$$-\frac{1}{3} < \sin x < \frac{1}{3},\quad \sin x \ne 0$$

Шаг 5. Общий вид решения:

Интервалы, в которых $\sin x \in \left( -\frac{1}{3}; \frac{1}{3} \right)$, находятся вокруг кратных $\pi$, поскольку $\sin(\pi n) = 0$, и $\sin x$ меняется от 0 к максимуму (1) и обратно.

Решением будет:

$$x \in \left( \pi n — \arcsin\left( \frac{1}{3} \right),\ \pi n + \arcsin\left( \frac{1}{3} \right) \right),\quad n \in \mathbb{Z}$$

Важно: $\sin x \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi n$

Ответ:

$$x \in \left( \pi n — \arcsin\left( \frac{1}{3} \right);\ \pi n + \arcsin\left( \frac{1}{3} \right) \right),\ x \ne \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$

г) $\varphi(x) = x^4 — \frac{1}{3}x^3 + 21$

Шаг 1. Найдём производную:

$$\varphi'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(21)$$ $$= 4x^3 — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0 = 4x^3 — x^2$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$4x^3 — x^2 < 0$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель:

$$x^2(4x — 1) < 0$$

Рассмотрим выражение:

• $x^2 \ge 0$, но строго $> 0$, если $x \ne 0$
• Неравенство строгое: $< 0$, значит:

  $$x^2 > 0 \text{ и } (4x — 1) < 0 \Rightarrow x \ne 0 \text{ и } x < \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 0) \cup \left( 0; \frac{1}{4} \right)$$