ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях а касательные к графикам функций у = f(x), у = h(x) в точке х = а не имеют общих точек:

а) $f(x) = x^7$ и $h(x) = x^8$;

б) $f(x) = x^2 + x + 3$ и $h(x) = x^3$

Касательные не имеют общих точек, если они параллельны, то есть их угловые коэффициенты совпадают;

а) $f(x) = x^7$ и $h(x) = x^8$;

$k_f = f'(x) = (x^7)’ = 7x^6$;

$k_h = h'(x) = (x^8)’ = 8x^7$;

$7x^6 = 8x^7 \quad | : x^6$;

$7 = 8x$, отсюда $x = \frac{7}{8}$;

Ответ: $a = \frac{7}{8}$.

б) $f(x) = x^2 + x + 3$ и $h(x) = x^3$;

$k_f = f'(x) = (x^2)’ + (x + 3)’ = 2x + 1$;

$k_h = h'(x) = (x^3)’ = 3x^2$;

$3x^2 = 2x + 1$;

$3x^2 — 2x — 1 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1$;

Ответ: $a = -\frac{1}{3}$ и $a = 1$.

Найти такие значения $a$, при которых касательные к графикам функций $f(x)$ и $h(x)$ будут параллельны.
Параллельные касательные означают, что их угловые коэффициенты равны, то есть:

$$k_f = k_h$$

а) $f(x) = x^7$, $h(x) = x^8$

Шаг 1: Найдём производные функций

Производная функции — это угловой коэффициент касательной к её графику в данной точке.

Найдём производную $f(x)$:

$$f(x) = x^7 \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx}(x^7) = 7x^6$$

Значит, угловой коэффициент касательной к графику $f(x)$ равен:

$$k_f = 7x^6$$

Найдём производную $h(x)$:

$$h(x) = x^8 \Rightarrow h'(x) = \frac{d}{dx}(x^8) = 8x^7$$

Значит, угловой коэффициент касательной к графику $h(x)$ равен:

$$k_h = 8x^7$$

Шаг 2: Приравниваем угловые коэффициенты (для параллельности):

$$7x^6 = 8x^7$$

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим обе части уравнения на $x^6$ (внимание: при этом исключается $x = 0$, так как деление на 0 невозможно):

$$\frac{7x^6}{x^6} = \frac{8x^7}{x^6} \Rightarrow 7 = 8x$$

Шаг 4: Найдём значение $x$:

$$x = \frac{7}{8}$$

Ответ к пункту а:

$$\boxed{a = \frac{7}{8}}$$

б) $f(x) = x^2 + x + 3$, $h(x) = x^3$

Шаг 1: Найдём производные функций

Найдём $f'(x)$:

$$f(x) = x^2 + x + 3 \Rightarrow f'(x) = (x^2)’ + (x)’ + (3)’ = 2x + 1$$

Угловой коэффициент касательной:

$$k_f = 2x + 1$$

Найдём $h'(x)$:

$$h(x) = x^3 \Rightarrow h'(x) = (x^3)’ = 3x^2$$

Угловой коэффициент касательной:

$$k_h = 3x^2$$

Шаг 2: Приравниваем угловые коэффициенты (для параллельности):

$$2x + 1 = 3x^2$$

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Переносим всё в одну часть уравнения:

$$3x^2 — 2x — 1 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Это квадратное уравнение вида:

$$Ax^2 + Bx + C = 0, \quad A = 3, B = -2, C = -1$$

Вычислим дискриминант:

$$D = B^2 — 4AC = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$

Теперь найдём корни:

$$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$$

Рассчитаем каждый корень:

• $x_1 = \frac{2 — 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
• $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ к пункту б:

$$\boxed{a = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad a = 1}$$

Итоговый ответ:

а) $a = \frac{7}{8}$
б) $a = -\frac{1}{3}$ и $a = 1$