ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 2$, если известно, что $f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$?

б) При каких значениях $x$ выполняется равенство $f'(x) = 1$, если известно, что $f(x) = 3x — \sqrt{x} + 13$?

а) $f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$ и $f'(x) = 2$;

$f'(x) = 2(\sqrt{x})’ — (5x + 3)’ = \frac{2}{2\sqrt{x}} — 5 = \frac{1}{\sqrt{x}} — 5$;

$\frac{1}{\sqrt{x}} — 5 = 2$;

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 7 \quad | \cdot \sqrt{x}$;

$1 = 7\sqrt{x}$;

$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$;

$x = \left( \frac{1}{7} \right)^2 = \frac{1}{49}$;

б) $f(x) = 3x — \sqrt{x} + 13$ и $f'(x) = 1$;

$f'(x) = (3x + 13)’ — (\sqrt{x})’ = 3 — \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$3 — \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$;

$2 = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad | \cdot 2\sqrt{x}$;

$4\sqrt{x} = 1$;

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$;

$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$;

а) Найти $x$, при котором $f'(x) = 2$, если $f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Запишем функцию:

$$f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$$

Вспомним формулы производных:

• $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, в частности $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• Производная константы $C$ равна 0

Теперь дифференцируем каждое слагаемое:

• $\frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}(-5x) = -5 \cdot \frac{d}{dx}(x) = -5 \cdot 1 = -5$
• $\frac{d}{dx}(3) = 0$

Запишем результат:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — 5$$

Шаг 2. Приравниваем производную к 2 и решаем уравнение:

$$f'(x) = 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} — 5 = 2$$Шаг 3. Переносим -5 в правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2 + 5 = 7$$

Шаг 4. Избавляемся от дроби, умножив обе части на $\sqrt{x}$:

$$1 = 7\sqrt{x}$$

Шаг 5. Делим обе части на 7:

$$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$$

Шаг 6. Возводим обе части в квадрат:

$$x = \left( \frac{1}{7} \right)^2 = \frac{1}{49}$$

Ответ: $x = \frac{1}{49}$

б) Найти $x$, при котором $f'(x) = 1$, если $f(x) = 3x — \sqrt{x} + 13$

Шаг 1. Найдём производную функции $f(x)$

Запишем функцию:

$$f(x) = 3x — \sqrt{x} + 13$$

Вспомним формулы:

• $\frac{d}{dx}(3x) = 3$
• $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}(13) = 0$

Вычисляем:

• $\frac{d}{dx}(3x) = 3$
• $\frac{d}{dx}(-\sqrt{x}) = — \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\frac{d}{dx}(13) = 0$

Запишем производную:

$$f'(x) = 3 — \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2. Приравниваем производную к 1 и решаем уравнение:

$$f'(x) = 1 \Rightarrow 3 — \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$$

Шаг 3. Переносим 3 в правую часть:

$$— \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 — 3 = -2$$

Шаг 4. Умножим обе части на -1:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2$$

Шаг 5. Умножим обе части на $2\sqrt{x}$:

$$1 = 4\sqrt{x}$$

Шаг 6. Делим обе части на 4:

$$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$$

Шаг 7. Возводим обе части в квадрат:

$$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$$

Ответ: $x = \frac{1}{16}$

Окончательные ответы:

а) $x = \frac{1}{49}$

б) $x = \frac{1}{16}$