ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство f'(x) < 0:

а) $f(x) = x^3 — x^4$;

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 — \frac{5}{3}x^3 + 6x$

Неравенство $f'(x) < 0$;

а) $f(x) = x^3 — x^4$;
$f'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ = 3x^2 — 4x^3$;
$3x^2 — 4x^3 < 0 \quad |: x^2$;
$3 — 4x < 0$;
$3 < 4x$;
$x > \frac{3}{4}$ и $(x \neq 0)$;
Ответ: $x \in \left( \frac{3}{4}; +\infty \right)$.

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 — \frac{5}{3}x^3 + 6x$;
$f'(x) = \frac{1}{5}(x^5)’ — \frac{5}{3}(x^3)’ + (6x)’ = \frac{5}{5}x^4 — \frac{5 \cdot 3}{3}x^2 + 6 = x^4 — 5x^2 + 6$;
Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 5y + 6 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$(y — 2)(y — 3) < 0$;
$2 < y \leqslant 3$;
$2 < x^2 < 3$;
$\pm \sqrt{2} < |x| < \pm \sqrt{3}$;
Ответ: $-\sqrt{3} < x < -\sqrt{2}$ и $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$.

Решить неравенство $f'(x) < 0$.

а) $f(x) = x^3 — x^4$

Шаг 1: Найдём производную функции

Используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$

$$f'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ = 3x^2 — 4x^3$$

Шаг 2: Запишем неравенство

$$f'(x) = 3x^2 — 4x^3 < 0$$

Шаг 3: Вынесем общий множитель

Общий множитель у обеих частей — $x^2$. Вынесем его за скобки:

$$f'(x) = x^2(3 — 4x)$$

Теперь неравенство:

$$x^2(3 — 4x) < 0$$

Шаг 4: Проанализируем знак выражения

Заметим:

• $x^2 \geq 0$ всегда (так как квадрат любого действительного числа неотрицателен),
• $x^2 = 0$ только при $x = 0$,
• Значит, знак всего выражения зависит от $3 — 4x$, но только в случае, если $x \neq 0$, потому что при $x = 0$ выражение равно нулю.

Итак, чтобы произведение было меньше нуля, должно выполняться:

• $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$,
• $3 — 4x < 0$

Решим второе неравенство:

$$3 — 4x < 0 \\ -4x < -3 \\ x > \frac{3}{4}$$

Шаг 5: Учитываем $x \neq 0$

При $x = 0$, $f'(x) = 0$, а нас интересует строгое неравенство $f'(x) < 0$. Значит, исключаем $x = 0$.

Но $x = 0$ не входит в промежуток $x > \frac{3}{4}$, поэтому его учитывать отдельно не нужно.

Шаг 6: Ответ

$$\boxed{x \in \left( \frac{3}{4}; +\infty \right)}$$

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 — \frac{5}{3}x^3 + 6x$

Шаг 1: Найдём производную

Дифференцируем по членам:

• $\left(\frac{1}{5}x^5\right)’ = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$
• $\left(\frac{5}{3}x^3\right)’ = \frac{5}{3} \cdot 3x^2 = 5x^2$
• $(6x)’ = 6$

Итак:

$$f'(x) = x^4 — 5x^2 + 6$$

Шаг 2: Неравенство

$$f'(x) = x^4 — 5x^2 + 6 < 0$$

Шаг 3: Замена переменной

Обозначим $y = x^2$, тогда:

• $x^4 = y^2$
• $x^2 = y$

Подставим:

$$y^2 — 5y + 6 < 0$$

Шаг 4: Решим квадратное неравенство

Решим уравнение:

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 5: Знак выражения между корнями

Квадратный трёхчлен $y^2 — 5y + 6$ имеет положительный коэффициент при $y^2$, значит:

• < 0 между корнями
• 0 вне корней

То есть:

$$y^2 — 5y + 6 < 0 \quad \Rightarrow \quad y \in (2, 3)$$

Шаг 6: Вернёмся к $x$, где $y = x^2$

Нам нужно найти, при каких $x$ выполняется $2 < x^2 < 3$

Это означает, что $x$ находится вне интервала $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, но внутри интервала $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Запишем:

• $x^2 > 2 \Rightarrow |x| > \sqrt{2}$
• $x^2 < 3 \Rightarrow |x| < \sqrt{3}$

То есть:

$$\sqrt{2} < |x| < \sqrt{3}$$

Это означает:

$$x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$$

Шаг 7: Ответ

$$\boxed{x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})}$$