ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство f'(x) < 0:

а) $f(x) = \sin 2x$;

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x$

а) $f(x) = \sin 2x$;

Пусть $u = 2x$, тогда $f(x) = \sin u$;

$f'(x) = (\sin u)’ \cdot (2x)’ = \cos u \cdot 2 = 2 \cos 2x$;

$2 \cos 2x < 0$;

$\cos 2x < 0$;

$\cos 2x < 0$ во II и III квадрантах, $T = 2\pi$:

$$\frac{\pi}{2} < 2x < \frac{3\pi}{2};$$ $$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3}{4}\pi + \pi n;$$

Ответ: $x \in \left( \frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3}{4}\pi + \pi n \right)$.

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x$;

$f'(x) = -4(\cos x)’ + (2x)’ = 4 \sin x + 2$;

$4 \sin x + 2 < 0$;

$4 \sin x < -2$;

$\sin x < -\frac{1}{2}$;

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $x \in \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)$.

Решить неравенство $f'(x) < 0$

а) $f(x) = \sin 2x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Пусть:

$$u = 2x$$

Тогда функция принимает вид:

$$f(x) = \sin u$$

По правилу производной сложной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sin u \right) = \cos u \cdot \frac{du}{dx}$$

Подставляем:

• $u = 2x \Rightarrow \frac{du}{dx} = 2$

Значит:

$$f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$$

Шаг 2: Составим неравенство

$$2 \cos 2x < 0$$

Разделим обе части на 2 (это положительное число, знак неравенства сохраняется):

$$\cos 2x < 0$$

Шаг 3: Определим, при каких значениях $2x$ выполняется неравенство

Функция $\cos \theta < 0$, когда угол $\theta$ попадает во второй и третий квадранты.

Это:

$$\frac{\pi}{2} < 2x < \frac{3\pi}{2}$$

Но так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, это выражение повторяется через каждый $2\pi$:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Разрешим неравенство относительно $x$

Разделим каждую часть неравенства на 2:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Ответ (а):

$$\boxed{x \in \left( \frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x$

Шаг 1: Найдём производную функции

Применим дифференцирование по частям:

• Производная $-4 \cos x$ = $-4 \cdot (-\sin x) = 4 \sin x$
• Производная $2x$ = 2

Итак:

$$f'(x) = 4 \sin x + 2$$

Шаг 2: Составим неравенство

$$f'(x) = 4 \sin x + 2 < 0$$

Вычтем 2 из обеих частей:

$$4 \sin x < -2$$

Разделим обе части на 4:

$$\sin x < -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найдём, где $\sin x < -\frac{1}{2}$

Сначала найдём, где $\sin x = -\frac{1}{2}$

Это происходит в III и IV квадрантах (где синус отрицателен):

$$x = -\frac{\pi}{6},\quad x = -\frac{5\pi}{6} \mod 2\pi$$

То есть на одном периоде $[0, 2\pi)$, $\sin x = -\frac{1}{2}$ в точках:

$$x = \frac{7\pi}{6},\quad x = \frac{11\pi}{6}$$

А $\sin x < -\frac{1}{2}$ между этими точками:

$$\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$$

Теперь выразим в виде общего интервала, используя периодичность $T = 2\pi$:

Общий вид интервала, где $\sin x < -\frac{1}{2}$:

$$x \in \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}$$

(Этот же интервал можно получить, сдвинув $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$ на $-2\pi$)

Ответ (б):

$$\boxed{x \in \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}}$$