ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство f'(x) > 0:

а) $f(x) = x^3 + x^4$;

б) $f(x) = \frac{4}{2-5x}$

Неравенство $f'(x) > 0$;

а) $f(x) = x^3 + x^4$;
$f'(x) = (x^3)’ + (x^4)’ = 3x^2 + 4x^3$;
$3x^2 + 4x^3 > 0 \quad |: x^2$;
$3 + 4x > 0$;
$4x > -3$;
$x > -\frac{3}{4}$ и $(x \neq 0)$;
Ответ: $x \in \left( -\frac{3}{4}; 0 \right) \cup (0; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{4}{2-5x}$;
$f'(x) = \frac{(4)'(2-5x) — 4(2-5x)’}{(2-5x)^2} = \frac{0 \cdot (2-5x) — 4 \cdot (-5)}{(2-5x)^2} = \frac{20}{(2-5x)^2}$;
$\frac{20}{(2-5x)^2} > 0 \quad \text{— верно при любом допустимом значении } x$;
$(2-5x)^2 \neq 0$;
$2-5x \neq 0$;
$2 \neq 5x, \text{отсюда } x \neq \frac{2}{5}$;
Ответ: $x \in \left( -\infty; \frac{2}{5} \right) \cup \left( \frac{2}{5}; +\infty \right)$.

Решить неравенство $f'(x) > 0$

а) $f(x) = x^3 + x^4$

Шаг 1. Найдём производную функции

Используем правило дифференцирования степенной функции:

• $(x^n)’ = n \cdot x^{n-1}$

Применим к каждому слагаемому:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^4)’ = 4x^3$

$$f'(x) = 3x^2 + 4x^3$$

Шаг 2. Составим неравенство

$$f'(x) = 3x^2 + 4x^3 > 0$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель

Обе части содержат $x^2$, можно вынести за скобку:

$$f'(x) = x^2(3 + 4x)$$

Теперь неравенство:

$$x^2(3 + 4x) > 0$$

Шаг 4. Проанализируем знак произведения

Мы имеем произведение двух множителей:

• $x^2 \geq 0$ для всех $x$, причём $x^2 = 0$ только при $x = 0$
• Следовательно, $x^2(3 + 4x) > 0$ тогда и только тогда, когда:
  • $x \neq 0$ (иначе выражение равно нулю)
  • $3 + 4x > 0$

Шаг 5. Решим неравенство $3 + 4x > 0$

$$3 + 4x > 0 \Rightarrow 4x > -3 \Rightarrow x > -\frac{3}{4}$$

Шаг 6. Учтём ограничение $x \neq 0$

Теперь нужно найти пересечение условий:

• $x > -\frac{3}{4}$
• $x \neq 0$

Значит, окончательный ответ:

$$x \in \left( -\frac{3}{4}; 0 \right) \cup (0; +\infty)$$

Ответ (а):

$$\boxed{x \in \left( -\frac{3}{4}; 0 \right) \cup (0; +\infty)}$$

б) $f(x) = \frac{4}{2 — 5x}$

Шаг 1. Найдём производную

Это функция вида дроби: $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, где:

• $u(x) = 4$
• $v(x) = 2 — 5x$

По правилу производной дроби:

$$f'(x) = \frac{u’v — uv’}{v^2}$$

Подставим:

• $u’ = 0$ (так как производная от константы 4 — это 0)
• $v’ = (2 — 5x)’ = -5$

Тогда:

$$f'(x) = \frac{0 \cdot (2 — 5x) — 4 \cdot (-5)}{(2 — 5x)^2} = \frac{20}{(2 — 5x)^2}$$

Шаг 2. Составим неравенство

$$\frac{20}{(2 — 5x)^2} > 0$$

Шаг 3. Проанализируем знак выражения

Числитель:

• $20 > 0$ — всегда положительный

Знаменатель:

• $(2 — 5x)^2 \geq 0$, квадрат всегда неотрицателен
• но $(2 — 5x)^2 = 0$ только при $x = \frac{2}{5}$, что даёт недопустимое значение, так как знаменатель не может быть нулём

Следовательно:

• Для всех $x \neq \frac{2}{5}$, выражение строго положительно:

  $$\frac{20}{(2 — 5x)^2} > 0$$

Шаг 4. Учтём область определения

Исключим точку, при которой знаменатель обращается в ноль:

$$2 — 5x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{2}{5}$$

Ответ (б):

$$\boxed{x \in \left( -\infty;\ \frac{2}{5} \right) \cup \left( \frac{2}{5};\ +\infty \right)}$$