ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x):

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$ и $g(x) = 7,5x^2 — 16x$;

б) $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = -\frac{1}{x}$

Скорости изменения функций одинаковы при тех значениях аргумента, при которых одинаковы их производные;

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$ и $g(x) = 7,5x^2 — 16x$;

$f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (x^2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x = x^2 — 2x$;

$g'(x) = 7,5(x^2)’ — (16x)’ = 7,5 \cdot 2x — 16 = 15x — 16$;

$x^2 — 2x = 15x — 16$;

$x^2 — 2x — 15x + 16 = 0$;

$x^2 — 17x + 16 = 0$;

$D = 17^2 — 4 \cdot 16 = 289 — 64 = 225 = 15^2$, тогда:

$x_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16$;

Ответ: 1; 16.

б) $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = -\frac{1}{x}$;

$f'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$g'(x) = -\left(\frac{1}{x}\right)’ = -\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2}$;

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2} \quad | \cdot 2x^2\sqrt{x}$;

$x^2 = 2\sqrt{x} \quad | : \sqrt{x}$;

$x\sqrt{x} = 2$;

$x^{3/2} = 2$;

$x = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$;

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

Скорости изменения функций одинаковы при тех значениях аргумента, при которых одинаковы их производные, то есть:

$$f'(x) = g'(x)$$

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$, $g(x) = 7{,}5x^2 — 16x$

Шаг 1: Найдём производную $f(x)$

Применяем правило производной степенной функции:

$$\left( x^n \right)’ = n \cdot x^{n-1}$$ $$f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2$$ $$f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (x^2)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x = x^2 — 2x$$

Шаг 2: Найдём производную $g(x)$

$$g(x) = 7{,}5x^2 — 16x$$ $$g'(x) = (7{,}5x^2)’ — (16x)’ = 7{,}5 \cdot 2x — 16 = 15x — 16$$

Шаг 3: Приравниваем производные

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow x^2 — 2x = 15x — 16$$

Переносим всё в одну сторону:

$$x^2 — 2x — 15x + 16 = 0 \Rightarrow x^2 — 17x + 16 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$x^2 — 17x + 16 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 — 64 = 225 = 15^2$$

Корни:

$$x_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16$$

Ответ (а):

$$\boxed{1;\ 16}$$

б) $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = -\frac{1}{x}$

Шаг 1: Найдём производную $f(x)$

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$$

Применяем правило производной степенной функции:

$$f'(x) = \left( x^{1/2} \right)’ = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Найдём производную $g(x)$

$$g(x) = -\frac{1}{x} = -x^{-1}$$

Применим производную от $x^{-1}$:

$$g'(x) = \left( -x^{-1} \right)’ = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$$

Шаг 3: Приравниваем производные

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}$$

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на $2x^2\sqrt{x}$

(разрешается, так как $x > 0$ по смыслу корня и знаменателя)

$$\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \cdot 2x^2\sqrt{x} = \left( \frac{1}{x^2} \right) \cdot 2x^2\sqrt{x}$$

Слева:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2x^2\sqrt{x} = x^2$$

Справа:

$$\frac{1}{x^2} \cdot 2x^2\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$$

Получаем:

$$x^2 = 2\sqrt{x}$$

Шаг 5: Разделим обе части на $\sqrt{x}$ (так как $x > 0$)

$$\frac{x^2}{\sqrt{x}} = 2 \Rightarrow x\sqrt{x} = 2$$

Шаг 6: Переведём в показательную форму

$$x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \Rightarrow x^{3/2} = 2$$

Теперь извлекаем корень степени $\frac{3}{2}$:

$$x = \left( 2 \right)^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$$

Ответ (б):

$$\boxed{\sqrt[3]{4}}$$