ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x):

а) $f(x) = \cos x$ и $g(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $g(x) = -\operatorname{ctg} x$

Скорости изменения функций одинаковы при тех значениях аргумента, при которых одинаковы их производные;

а) $f(x) = \cos x$ и $g(x) = \sin x$;

$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;

$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

$\cos x = -\sin x$;

$\cos x + \sin x = 0 \quad | : \cos x$;

$1 + \operatorname{tg} x = 0$;

$\operatorname{tg} x = -1$;

$x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $x = \pi n — \frac{\pi}{4}$.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x$ и $g(x) = -\operatorname{ctg} x$;

$f'(x) = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$;

$g'(x) = -(\operatorname{ctg} x)’ = \frac{1}{\sin^2 x}$;

$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$;

$\sin^2 x = \cos^2 x$;

$\cos^2 x — \sin^2 x = 0$;

$\cos(2x) = 0$;

$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n$;

$2x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n$;

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n$.

Скорости изменения функций одинаковы при тех значениях аргумента, при которых одинаковы их производные, т.е.

$$f'(x) = g'(x)$$

а) $f(x) = \cos x$, $g(x) = \sin x$

Шаг 1: Найдём производную $f(x)$

$$f(x) = \cos x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$$

Шаг 2: Найдём производную $g(x)$

$$g(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$$

Шаг 3: Приравняем производные

$$f'(x) = g'(x) \Rightarrow -\sin x = \cos x$$

Или, чтобы было удобнее решать:

$$\cos x + \sin x = 0$$

Шаг 4: Поделим обе части на $\cos x$ (в тех точках, где $\cos x \ne 0$)

$$\frac{\cos x + \sin x}{\cos x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + \tan x = 0$$ $$\tan x = -1$$

Шаг 5: Решим уравнение $\tan x = -1$

Основное решение:

$$x = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Общий вид решения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n = \pi n — \frac{\pi}{4},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \pi n — \frac{\pi}{4},\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б) $f(x) = \tan x$, $g(x) = -\cot x$

Шаг 1: Найдём производную $f(x)$

$$f(x) = \tan x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \left( \tan x \right)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 2: Найдём производную $g(x)$

$$g(x) = -\cot x \Rightarrow g'(x) = -\left( \cot x \right)’ = -(-\csc^2 x) = \frac{1}{\sin^2 x}$$

(Так как $(\cot x)’ = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$)

Шаг 3: Приравняем производные

$$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$$

Умножим обе части на $\cos^2 x \cdot \sin^2 x$:

$$\sin^2 x = \cos^2 x$$

Шаг 4: Преобразуем уравнение

$$\cos^2 x — \sin^2 x = 0 \Rightarrow \cos(2x) = 0$$

(по формуле: $\cos(2x) = \cos^2 x — \sin^2 x$)

Шаг 5: Решим уравнение $\cos(2x) = 0$

Основное решение:

$$2x = \pm \arccos 0 + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Запишем общий вид (с шагом $\frac{\pi}{2}$):

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$