ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 41.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x):

а) $g(x) = x^3 — 3x^2$ и $h(x) = 1,5x^2 — 9$;

б) $g(x) = \operatorname{tg} x$ и $h(x) = 4x — 81$

Скорость изменения функции равна ее производной в этой точке;

а) $g(x) = x^3 — 3x^2$ и $h(x) = 1,5x^2 — 9$;

$g'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x$;

$h'(x) = 1,5(x^2)’ — (9)’ = 1,5 \cdot 2x — 0 = 3x$;

$g'(x) > h'(x)$:

$$3x^2 — 6x > 3x;$$ $$3x^2 — 9x > 0;$$ $$3x(x — 3) > 0;$$ $$x > 3 \text{ и } x < 0;$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

б) $g(x) = \operatorname{tg} x$ и $h(x) = 4x — 81$;

$g'(x) = (\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$;

$h'(x) = (4x — 81)’ = 4$;

$g'(x) > h'(x)$:

$$\frac{1}{\cos^2 x} > 4 \quad |\cdot \cos^2 x|;$$ $$1 > 4 \cos^2 x;$$ $$\pm 1 > |2 \cos x| \quad |: 2;$$ $$|\cos x| < \pm \frac{1}{2};$$ $$-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2} \text{ и } (\cos x \neq 0);$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x \leqslant \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \text{ и } \left( x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right);$$

Ответ: $x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$.

Скорость изменения функции равна её производной в этой точке.
Требуется найти, при каких значениях переменной производная одной функции больше производной другой:

$$g'(x) > h'(x)$$

а) $g(x) = x^3 — 3x^2$, $h(x) = 1{,}5x^2 — 9$

Шаг 1: Найдём производную $g(x)$

$$g(x) = x^3 — 3x^2$$

Применим правила:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^2)’ = 2x$

$$g'(x) = 3x^2 — 3 \cdot 2x = 3x^2 — 6x$$

Шаг 2: Найдём производную $h(x)$

$$h(x) = 1{,}5x^2 — 9$$ $$h'(x) = 1{,}5 \cdot 2x = 3x$$

(так как $(9)’ = 0$, производная константы — ноль)

Шаг 3: Составим неравенство $g'(x) > h'(x)$

$$3x^2 — 6x > 3x$$

Шаг 4: Перенесём все в левую часть

$$3x^2 — 6x — 3x > 0 \Rightarrow 3x^2 — 9x > 0$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель

$$3x(x — 3) > 0$$

Шаг 6: Решим методом интервалов

Найдём нули выражения:
$3x(x — 3) = 0$ при $x = 0$ и $x = 3$

Разметим числовую прямую:
Точки $0$ и $3$ делят ось на интервалы:

• $(-\infty;\ 0)$
• $(0;\ 3)$
• $(3;\ +\infty)$

Знаки на интервалах:

• При $x < 0$: оба множителя отрицательны → произведение положительное
• При $0 < x < 3$: $x > 0$, но $x — 3 < 0$ → произведение отрицательное
• При $x > 3$: оба множителя положительны → произведение положительное

Шаг 7: Учитываем строгое неравенство

$$3x(x — 3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty;\ 0) \cup (3;\ +\infty)$$

(нулевые точки не включаются)

Ответ (а):

$$\boxed{x \in (-\infty;\ 0) \cup (3;\ +\infty)}$$

б) $g(x) = \tan x$, $h(x) = 4x — 81$

Шаг 1: Найдём производную $g(x)$

$$g(x) = \tan x \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 2: Найдём производную $h(x)$

$$h(x) = 4x — 81 \Rightarrow h'(x) = 4$$

Шаг 3: Составим неравенство

$$g'(x) > h'(x) \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 x} > 4$$

Шаг 4: Устраним дробь

Умножим обе части на $\cos^2 x$, при этом допустим только те $x$, при которых $\cos x \ne 0$ (иначе выражение не имеет смысла):

$$1 > 4 \cos^2 x$$

Шаг 5: Упростим неравенство

Разделим обе части на 4:

$$\cos^2 x < \frac{1}{4} \Rightarrow |\cos x| < \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Найдём, где $|\cos x| < \frac{1}{2}$

Функция $\cos x$ принимает значения от -1 до 1, и $|\cos x| < \frac{1}{2}$ означает:

$$— \frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$$

Это выполняется в двух промежутках на одном периоде $[0;\ 2\pi)$:

• $x \in \left( \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right)$
• и периодически повторяется с шагом $2\pi$

Но нужно исключить точки, в которых $\cos x = 0$, так как тогда производная $\frac{1}{\cos^2 x}$ не определена.

Шаг 7: Учитываем область допустимых значений

Функция $\frac{1}{\cos^2 x}$ не определена при $\cos x = 0$, то есть при:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Значит, из промежутка $\left( \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right)$ нужно исключить точку $x = \frac{\pi}{2}$

Шаг 8: Запишем ответ с учётом периодичности

Учитывая период $\pi$, получаем:

$$x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$$

Ответ (б):

$$\boxed{ x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n;\ \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n;\ \frac{2\pi}{3} + \pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z} }$$